Prinsip penghampiran Laplace dan kes penggunaannya dalam pembelajaran mesin

Penghampiran Laplace ialah kaedah pengiraan berangka yang digunakan untuk menyelesaikan taburan kebarangkalian dalam pembelajaran mesin. Ia boleh menghampiri bentuk analisis taburan kebarangkalian kompleks. Artikel ini akan memperkenalkan prinsip, kelebihan dan kekurangan anggaran Laplace, dan aplikasinya dalam pembelajaran mesin.

1. Prinsip Penghampiran Laplace

Penghampiran Laplace ialah kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan taburan kebarangkalian Ia menggunakan pengembangan Taylor untuk menganggarkan taburan kebarangkalian ke dalam taburan Gaussian, dengan itu memudahkan pengiraan. Katakan kita mempunyai fungsi ketumpatan kebarangkalian $p(x)$ dan kita ingin mencari nilai maksimumnya. Kita boleh menganggarkan ini menggunakan formula berikut: $hat{x} = argmax_x p(x) lebih kurang argmax_x log p(x) lebih kurang argmax_x kiri[log p(x_0) + (nabla log p(x_0))^T(x-x_0) - frac{1}{2 }(x-x_0)^T H(x-x_0)kanan]$ Antaranya, $x_0$ ialah titik nilai maksimum $p(x)$, $nabla log p(x_0)$ ialah vektor kecerunan pada $x_0$, dan $H$ ialah matriks Hessian pada $x_0$. Dengan menyelesaikan persamaan di atas

p(x)approxtilde{p}(x)=frac{1}{(2pi)^{D/2}|boldsymbol{H}|^{1/2}}expleft( - frac{1}{2}(boldsymbol{x}-boldsymbol{mu})^Tboldsymbol{H}(boldsymbol{x}-boldsymbol{mu})kanan)

Dalam anggaran ini, $boldsymbol{mu } $ mewakili titik nilai maksimum fungsi ketumpatan kebarangkalian $p(x)$, $boldsymbol{H}$ mewakili matriks Hessian $p(x)$ pada $boldsymbol{mu}$, $D$ mewakili $x$ dimensi. Anggaran ini boleh dilihat sebagai taburan Gaussian, dengan $boldsymbol{mu}$ ialah min dan $boldsymbol{H}^{-1}$ ialah matriks kovarians.

Perlu diperhatikan bahawa ketepatan anggaran Laplace bergantung pada bentuk p(x) pada boldsymbol{mu}. Anggaran ini sangat tepat jika p(x) hampir dengan taburan Gaussian pada boldsymbol{mu}. Jika tidak, ketepatan anggaran ini akan dikurangkan. .

Kelajuan pengiraan lebih pantas, terutamanya untuk data berdimensi tinggi.

boleh digunakan untuk menganalisis nilai maksimum fungsi ketumpatan kebarangkalian, dan untuk mengira statistik seperti jangkaan dan varians.

Kelemahan anggaran Laplace ialah:

• Untuk kes taburan bukan Gaussian, ketepatan anggaran akan dikurangkan.
• Formula anggaran hanya boleh digunakan pada titik maksimum tempatan, tetapi tidak boleh mengendalikan situasi maksima tempatan berbilang.
• Penyelesaian kepada matriks Hessian boldssymbol{H} memerlukan pengiraan bagi derivatif kedua, yang memerlukan kewujudan derivatif kedua p(x) pada boldsymbol{mu}. Oleh itu, jika terbitan peringkat tinggi p(x) tidak wujud atau sukar untuk dikira, anggaran Laplace tidak boleh digunakan.

3. Aplikasi anggaran Laplace dalam pembelajaran mesin

• Penghampiran Laplace digunakan secara meluas dalam pembelajaran mesin. Beberapa contoh daripadanya disenaraikan di bawah:
• 1. Regresi Logistik: Regresi logistik ialah algoritma pembelajaran mesin yang digunakan untuk pengelasan. Ia menggunakan fungsi sigmoid untuk memetakan nilai input kepada nilai kebarangkalian antara 0 dan 1. Untuk algoritma regresi logistik, anggaran Laplace boleh digunakan untuk menyelesaikan nilai maksimum dan varians taburan kebarangkalian, dengan itu meningkatkan ketepatan model.

2. Pembelajaran statistik Bayesian: Pembelajaran statistik Bayesian ialah kaedah pembelajaran mesin berdasarkan teorem Bayes. Ia menggunakan alat teori kebarangkalian untuk menerangkan hubungan antara model dan data, dan boleh menggunakan anggaran Laplace untuk menyelesaikan nilai maksimum dan varians taburan kebarangkalian posterior.

3. Regresi proses Gaussian: Regresi proses Gaussian ialah algoritma pembelajaran mesin untuk regresi yang menggunakan proses Gaussian untuk memodelkan fungsi terpendam. Penghampiran Laplace boleh digunakan untuk menyelesaikan nilai maksimum dan varians taburan kebarangkalian posterior regresi proses Gaussian.

4. Model grafik probabilistik: Model grafik probabilistik ialah kaedah pembelajaran mesin untuk memodelkan taburan kebarangkalian. Ia menggunakan struktur graf untuk menerangkan kebergantungan antara pembolehubah, dan boleh menggunakan penghampiran Laplace untuk menyelesaikan taburan kebarangkalian posterior model.

5. Pembelajaran Mendalam: Pembelajaran mendalam ialah kaedah pembelajaran mesin untuk memodelkan perhubungan bukan linear. Dalam pembelajaran mendalam, anggaran Laplace boleh digunakan untuk menyelesaikan nilai maksimum dan varians taburan kebarangkalian posterior rangkaian saraf, dengan itu meningkatkan ketepatan model.

Ringkasnya, anggaran Laplace ialah teknik pengkomputeran berangka yang sangat berguna yang boleh digunakan untuk menyelesaikan statistik seperti nilai maksimum dan varians taburan kebarangkalian dalam pembelajaran mesin. Walaupun ia mempunyai beberapa kelemahan, ia masih merupakan kaedah yang sangat berkesan dalam aplikasi praktikal.

Atas ialah kandungan terperinci Prinsip penghampiran Laplace dan kes penggunaannya dalam pembelajaran mesin. Untuk maklumat lanjut, sila ikut artikel berkaitan lain di laman web China PHP!