Java Long类型，阶乘计算

Question

问题描述：

n! <= 2^63-1 , 求最大的n.

问题：

1. 如果不用java自带的 Long.MAX_VALUE,这个值，如何表示Long类型的最大值，我的表示方法为啥不对？

2. 我的代码如何修改才能得到正确的值呢？（因为我观察到factorial这个变量从某一刻开始变成0，可能那个时刻就已经求到了最大的n? long类型的factorial范围不够用了？）

3. 有什么优化的算法呢？

    /**
     * calculate the max value of n that n! < maxValueOf(Long)
     * long 8 bytes
     * @return max n
     */
    private static int findMax() {
        long maxLongValue = Long.MAX_VALUE;//(2<<(8*8-1))-1;
        System.out.println(maxLongValue);
        // n! <= 2^63-1, we recommend algorithm
        int n = 5;


        while(true){
            long factorial =n; //watch out here long
            int origin = n;
            while(n>1){
                factorial *= (n-1);
                n--;
            }
            System.out.println("--------" + factorial);
            n = origin;
            if((factorial+1) <= maxLongValue){
                n++;
                System.out.println("n="+ n +" factorial="+factorial);
            }else{
                n--;
                return n;
            }
        }
    }

----------下面是结果

    /**
     * calculate the max value of n that n! < maxValueOf(Long)
     * long 8 bytes
     * @return max n
     */
    private static int findMax() {
        long maxLongValue = (1L<<(8*8-1))-1;
        System.out.println(maxLongValue);
        // n! <= 2^63-1, we recommend algorithm
        int n = 5;

        long lastFactorial = n;
        
        while(true) {
            if (n == 5) {
                long firstFactorial = n;//watch out here long
                int origin = n;
                while (n > 1) {
                    firstFactorial = firstFactorial * (n - 1);
                    n--;
                }
                lastFactorial = firstFactorial;
                n = origin + 1;
            } else {
                //we do worry about currentFactorial*(n-1) cus we never let a variable store it
                //in fact we have to worry about currentFactorial*(n-1)
                if (lastFactorial <= (maxLongValue/n)) {
                    if(n==17){
                        System.out.println("here---for debug only");
                    }
                    lastFactorial = lastFactorial * n;
                    n++;
                } else {
                    return n - 1;
                }
            }
        }
    }

结果n=20;

----------此外还暴露一个问题，我以为，只要我计算factorialn不存储在某个变凉中就不会又问题，实际上，我太native了，看看下面这个图就知道啦。factorialn不存储，也溢出。。。

Answer 1

阶乘结果用BigInteger类型。
---编辑的分割线---
有个很明显的重复计算，因为
n! = n * (n-1)!
所以每一步的结果都可以为下个数的结果所复用，递加乘上次阶乘值即可，不必每个数递减相乘。
判定溢出有个很土的办法，不过貌似可行：
每次n阶乘后判断MAX_VALUE / (n-1) 是否小于 当前阶乘值，是的话相乘必然溢出了。

Answer 2

1. (1L << 63)-1 注意必须写1L(long字面量), 不能写1(int字面量)

2. 每个long都一定不大于maxLongValue的, 所以不能用这个来判断溢出. 在已知n!没溢出时可以用(n+1)! / (n+1) == n!来判断.

3. 如果你只需要n (不要阶乘的精确值), 可以用斯特林公式求n!的近似. 但是因为这个搜索范围太小..未必比从1开始逐个算要快.

Answer 3

1. 据我所知，不用Long.MAX_VALUE你就只能直接写数值了。

2. 你的结果之所以不对，是因为你以为fatorial是线程递增的，你认为他会慢慢的递增直接到达maxLongValue-1，然而现实是它会在某时（n-1）！< maxLongValue-1，n！>maxLongValue,因溢出，故n！<0,所以继续小于maxLongValue，进入if语句的内容，故的程序会无休止的死循环。改进方法很简单，因为0！=1>0,所以你只要检测factorial何时突变为负数即可。

3. 可能可以优化，然而我不会……

Answer 4

经过仔细翻书查看：
得出java中，第一次上溢和下溢规律（可能循环上溢或者下溢）（有不妥的地方请给予批评和指正）

上溢： x-2(max+1);
下溢： x+2(max+1);

可以根据溢出规则来，判断溢出。。