C++先比较后开根与先开根后比较时间复杂度问题

Question

在做求平面内最近点对的问题时，使用两种不同的比较方法求最小距离，算法效率在100000输入规模下相差2~3倍，很费解，想向大家求助。

具体来说只有求两点距离的方法是不一样的（然而却导致了不同）：

一是先一直用平方表示距离，最后输出算开根

 if (s == e) return MAX;   //如果只有一个点返回无限大
 if (s + 1 == e) return square(ar[s], ar[e]);//如果只有两个点返回开根后的距离
 

二是每次都直接算出开根以后的距离

   if (s == e) return MAX;   //如果只有一个点返回无限大
   if (s + 1 == e) return dis(ar[s], ar[e]);//如果只有两个点返回开根后的距离

以上两种情况都是递归到底后执行，此外还有比较中间是否有最小距离时需要用到

curmin = min(curmin, square(ar[sr[i]], ar[sr[j]]));
curmin = min(curmin, dis(ar[sr[i]], ar[sr[j]]));//(当前求得的两边最小值,中间最小值）

double dis(Node a, Node b) { return sqrt(pow(a.x - b.x, 2) + pow(a.y - b.y, 2)); }  //返回点与点之间的距离
double square(Node a, Node b) { return  pow(a.x - b.x, 2) + pow(a.y - b.y, 2); } //square()和dis()除了是否开根以外没有任何差别。

两种方法在100000规模下运行20次取平均运行时间如图1和图2所示

图1 dis方法

图2 square方法

输入使用随机数，在随机数中规模大约平均在10的4次方，显然square产生的数字要比dis大得多，每次比较的数字也大的多，比较的复杂度是O(n)的。但是用同样的类型存储数据，也都没有溢出，占位应该是相同的，而且比较是大家都要比较的，dis方法只是数比较小，何况dis每次运算是通过计算平方再开根，多了开根这一步，为什么用dis方法反而会快呢？如何理解数据规模对比较的影响呢？

源码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<time.h>
using namespace std;

double MAX = 1e10; //定义的最大距离，以在只有一个点的时返回无穷大
int a, b;   //用来记录下标，与题无关
struct Node {
    double x, y;
    int key;   //关键码，可有可无，与ab有关
};


Node ar[100005];
int sr[100005];

bool cmpx(Node a, Node b) { return a.x<b.x; }  //x坐标升序
bool cmpy(Node a, Node b) { return a.y<b.y; }  //y坐标升序
int listcmp(const void *a, const void *b)
{
    if (ar[*(int*)a].y < ar[*(int*)b].y)//中间的是下标
        return -1;
    else
        return 1;
}
double min(double a, double b) { return a<b ? a : b; }  //返回最小值
double dis(Node a, Node b) { return sqrt((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y)); }  //返回点与点之间的距离
double square(Node a, Node b) { 
    return (a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y);                
}


void create(int n) {
    srand((unsigned)time(NULL));
    for (int i = 0; i<n; i++) {
        ar[i].key = i + 1;                 
        dr[i].x = rand();
        dr[i].y = rand();
        //cout << "x " << (ar[i].x = dr[i].x) << " y " << ((ar[i].y = dr[i].y)) << endl;
        //cout << "x " << (cr[i].x = dr[i].x) << " y " << ((cr[i].y = dr[i].y)) << endl;
        ar[i].x = dr[i].x; ar[i].y = dr[i].y;
        cr[i].x = dr[i].x; cr[i].y = dr[i].y;
    }
} 
double shortest(int s, int e)
{
    double d; //d表示点对之间的距离
    int listlen = 0;
    if (s == e) return MAX;   //如果只有一个点
    if (s + 1 == e) return dis(ar[s], ar[e]);//如果只有两个点
    long i, j, mid = (s + e) >> 1;
    double curmin = min(shortest(s, mid), shortest(mid + 1, e));
    listlen = 0;
    for (i = mid; i >= s && ar[mid + 1].x - ar[i].x <= curmin; i--)
        sr[listlen++] = i;
    for (i = mid + 1; i <= e && ar[i].x - ar[mid].x <= curmin; i++)
        sr[listlen++] = i;
    qsort(sr, listlen, sizeof(sr[0]), listcmp);//对y进行排序
    for (i = 0; i < listlen; i++)
        for (j = i + 1; j < listlen && ar[sr[j]].y - ar[sr[i]].y <= curmin; j++)
            curmin = min(curmin, dis(ar[sr[i]], ar[sr[j]]));
    return curmin;
}
void myRun (int n) {
    time_t start, end;
    double distance;
    double sum = 0.0;
    cout << "分治法在" << n << "规模耗时结果如下：" << endl;
    for (int i = 0; i < 20; i++) {
        create(n);
        sort(ar, ar + n, cmpx);  //按x对ar排序
        start = clock();
        double distance = shortest(0, n);
        end = clock();
        //if (i == 0) cout << "分治法在"<<n<<"规模时下计算结果如下："<<endl<<"最短距离为：" << distance << endl<<"时间分别为:";
        cout << (double)(end - start) << "ms ";
        sum += (double)(end - start);
    }
    cout <<endl<< "平均耗时: " << sum / 20.0 <<"ms"<< endl<<endl;        
}  

int main()
{
        myRun(100);
        myRun(1000);
        myRun(10000);
        myRun(20000);
        myRun(40000);
        myRun(60000);
        myRun(80000);
        myRun(100000);
        system("pause");
    return 0;
}

Answer 1

Don’t know the rest of you.

In many cases, I don’t prescribe a prescription to judge the size or other things. I only prescribe a prescription when the result is needed.

This saves you one prescription when judging the size, which can save a lot.

Personally, I think it is most likely that other parts of you caused this result.