計算大指數的(a^b)%MOD
電腦程式設計中,計算(a^b)%MOD 的問題當我們需要將數字「a」提高到大指數「b」(以固定常數「MOD」為模)求餘數時,就會出現這種情況。這是各種密碼應用和數學計算中的常見任務。
Log(b) 時間複雜度方法
解決此問題的一個簡單方法是使用內建的在C 中的pow() 函數中,它使用乘法演算法計算a 的b 次方。但是,當 'b' 很大時,此方法會變得低效,因為它需要 O(b) 時間。
歐拉定理
更有效的方法涉及使用歐拉定理,它指出對於任何整數“a”和素數模“p”,a^p mod p = a^(p-1) mod p。透過擴展,可以使用歐拉 totient 函數 φ(MOD) 將其推廣到任何正整數 'MOD'。
歐拉 Totient 函數
歐拉 totient 函數計算數字小於「MOD」且與「MOD」互質的正整數。使用'MOD'的素因式分解可以有效計算。
計算大指數的(a^b)%MOD
結合歐拉定理和歐拉totient函數,我們可以有效率地計算大指數的(a^ b)%MOD。
這種方法將時間複雜度降低到O(log(φ(MOD)) )並且可以處理不適合「long long」資料類型的指數。
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