MATLAB 的反斜線運算子 (\\) 如何解線性方程式？

MATLAB 的mldivide 運算子如何求解線性方程式

MATLAB 的mldivide 運算符，也稱為反斜線運算符是一種多功能計算工具以矩陣形式表示的線性系統的解。它包含各種演算法來處理不同類型的輸入矩陣，以確保效率和數值穩定性。

非方矩陣的演算法選擇：

對於非方矩陣，反斜線運算子採用 QR 分解來決定解。 QR 分解將矩陣 A 分解為正交向量 Q 和上三角矩陣 R。再由解上三角方程組 R (Q' * b) 得到解 x。

Square 的演算法選擇矩陣：

對於方陣，mldivide 診斷矩陣並根據其選擇適當的演算法特徵：

• 三角矩陣（下或上）：直接進行前向或後向替換。
• 對稱正定矩陣：使用Cholesky 分解更快、更穩定
• 一般方陣： LU 替換用於前向和後向分解的組合。

特殊情況：

• 如果A是奇異或矩形，可以使用偽逆（pinv）方法用於最小範數最小二乘解。
• 對於稀疏矩陣，MATLAB 利用迭代求解器和 UMFPACK 等外部函式庫。
• 對於 GPU 上的運算，mldivide 利用 cuBLAS 和 MAGMA。
• 對於分散式數組，ScaLAPACK 用於求解分散式運算中的線性系統

實作mldivide：

在自訂矩陣庫中實作mldivide 的全部功能將是一項重大工作。然而，透過了解底層演算法並使用特定矩陣類型的現有函式庫（例如，用於稠密矩陣的 LAPACK、用於稀疏矩陣的迭代求解器），可以為線性系統建立相當高效且通用的求解器。

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