如何最佳化數論變換 (NTT) 和模運算以加快計算速度，尤其是對於非常大的數字（例如超過 12000 位元）？

模算術和NTT（有限域DFT）最佳化

問題陳述

我想用NTT來平方（請參閱快速bignum 平方計算），但即使對於非常大的數字，結果也很慢......超過12000 位。

所以我的問題是：

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有沒有辦法優化我的NTT變換？我並不是想透過並行性（線程）來加速它；這只是低階層。

有辦法加快我的模組化算術嗎？

這是我的（已經最佳化的）NTT C 原始碼（它是完整的並且100% 可以在C 不需要任何第三方庫，並且也應該是線程安全的，請注意來源數組被用作臨時數組！

1. 最佳化解
2. 使用預先計算的冪：預先計算並儲存冪W 和iW（單位原根及其逆），以避免在NTT 過程中重新計算它們。這可以顯著減少乘法和除法的次數，從而加快計算速度。
3. 展開循環：展開 NTT 演算法中的循環以減少與循環迭代相關的開銷。這樣可以透過減少分支指令的數量來提高效能。

最佳化模運算：

使用位元運算和彙編語言高效地實現模運算（加、減、乘、冪） 。這可以消除不必要的分支和條件語句，從而加快執行速度。

範例實作

class NTT {
public:
    NTT() {
        // Initialize constants
        p = 0xc0000001;
        W = modpow(2, 0x30000000 / n);
        iW = modpow(2, p - 1 - 0x30000000 / n);
        rN = modpow(n, p - 2);
        NN = n >> 1;

        // Precompute W and iW powers
        WW = new uint32_t[n];
        iWW = new uint32_t[n];
        WW[0] = 1;
        iWW[0] = 1;
        for (uint32_t i = 1; i < n; i++) {
            WW[i] = modmul(WW[i - 1], W);
            iWW[i] = modmul(iWW[i - 1], iW);
        }
    }

    void NTT(uint32_t *dst, uint32_t *src, uint32_t n) {
        if (n > 0) {
            // Reorder even, odd elements
            for (uint32_t i = 0, j = 0; i < NN; i++, j += 2) {
                dst[i] = src[j];
            }
            for (j = 1; i < n; i++, j += 2) {
                dst[i] = src[j];
            }

            // Recursive NTT
            NTT(src, dst, NN);  // Even
            NTT(src + NN, dst + NN, NN);  // Odd

            // Restore results
            for (uint32_t i = 0, j = NN; i < NN; i++, j++) {
                uint32_t a0 = src[i];
                uint32_t a1 = modmul(src[j], WW[i]);
                dst[i] = modadd(a0, a1);
                dst[j] = modsub(a0, a1);
            }
        }
    }

private:
    uint32_t p, n, NN, W, iW, rN;
    uint32_t *WW, *iWW;

    // Modular arithmetic operations
    inline uint32_t modadd(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t d = a + b;
        if (d >= p) d -= p;
        return d;
    }

    inline uint32_t modsub(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t d = a - b;
        if (d > a) d += p;
        return d;
    }

    inline uint32_t modmul(uint32_t a, uint32_t b) {
        uint32_t m = (uint64_t)a * b;
        return m - (p * (m / p));
    }

    inline uint32_t modpow(uint32_t a, uint32_t b) {
        if (b == 0) return 1;
        uint32_t t = modpow(a, b / 2);
        t = modmul(t, t);
        if (b &amp; 1) t = modmul(t, a);
        return t;
    }
};

以下是使用預計算冪和位元運算的C 語言最佳化NTT 實作的範例：

• 其他提示
• 使用支援位元運算和內聯彙編的高階語言，例如C 。
• 使用分析器識別程式碼中的瓶頸並針對它們進行最佳化。

考慮使用平行化 NTT 演算法多執行緒或 SIMD 指令。

以上是如何最佳化數論變換 (NTT) 和模運算以加快計算速度，尤其是對於非常大的數字（例如超過 12000 位元）？的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！