曲線積分換元：為什麼用y=sin(t)替換而非極坐標變換？

關於曲線積分變量替換的探討

本文分析一個曲線積分問題中變量替換的技巧，解答中並非採用極坐標變換，而是利用三角函數代換簡化積分計算。

原積分式為：$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy$

解答採用如下換元法：令$y = \sin(t)$。由於積分區間$y \in (0, 1)$，則$t \in (0, \frac{\pi}{2})$。在這個區間內，$\sin(t)$ 和$\cos(t)$ 均為正值。

代入換元後，積分式變為：

$\int_0^1 \frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}dy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\sqrt{1-\sin^2t}}d(\sin t)$

由於$d(\sin t) = \cos t dt$，且$\sqrt{1 - \sin^2t} = \cos t$ (在$t \in (0, \frac{\pi}{2})$ 區間內)，積分式可簡化為：

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2t}{\cos t}\cos t dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2t dt$

通過$y = \sin(t)$ 的代換，巧妙地消去了根號，簡化了積分計算。 這體現了選擇恰當的變量替換在簡化積分過程中的重要性。 與極坐標變換相比，此方法更直接有效地解決了該特定積分問題。 關鍵在於合理選擇換元變量並正確處理積分限和微分元素。

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