如何計算某一天是星期幾?
—— 蔡勒（Zeller）公式
歷史上的某一天是星期幾？未來的某一天是星期幾？關於這個問題，有許多計算公式（兩個通用計算公式和一些分段計算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y [y/4] [c/4]-2c [26(m 1)/10] d-1
公式中的符號意義如下，w：星期；c：世紀-1 ；y：年（兩位數）；m：月（m大於等於3，小於等於14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月來計算，例如2003年1月1日要看作2002年的13月1日來計算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整數部分。 (C是世紀數減一，y是年份後兩位，M是月份，d是日數。1月和2月要按上一年的13月和14月來算，這時C和y都按上一年取值。若餘數是0，則為星期日。
以2049年10月1日（100週年國慶日）為例，以蔡勒（Zeller）公式計算，過程如下：
蔡勒（Zeller）公式：w=y [y/ 4] [c/4]-2c [26(m 1)/10] d-1
=49 [49/4] [20/4]-2×20 [26× (10 1)/10] 1-1
=49 [12.25] 5-40 [28.6]
=49 12 5-40 28
=54 (除以7餘5)
即2049年10月1日（ 100週年國慶日）是星期5。
你的生日（出生時、今年、明年）是星期幾？不妨試試看。
不過，以上公式只適合於1582年10月15日之後的情形（當時的羅馬教皇將愷撒大帝訂定的儒略曆修改成格里曆，即今天使用的公曆）。
過程的推導:(對推理不感興趣的可略過不看)
星期制度是一種有古老傳統的製度。據說因為《聖經·創世紀》中規定上帝花了六天時間創世紀，第七天休息，所以人們也就以七天為一個週期來安排自己的工作和生 活，而星期日是休息日。從實際的角度來講，以七天為一個週期，長短也比較適合。所以儘管中國的傳統工作週期是十天（比如王勃《滕王閣序》中說的“十旬休暇”，即是指官員的工作每十日為一個週期，第十日休假），但後來也採取了西方的星期制度。
在日常生活中，我們常常遇到要知道某一天是星期幾的問題。有時候，我們還想知道歷史上某一天是星期幾。通常，解決這個方法的有效方法是看日曆，但是我們總不會 隨時隨身帶著日曆，更不可能隨時隨身帶著幾千年的萬年曆。假如是想在電腦程式設計 計算某一天是星期幾，預先把一本萬年曆存進去就更不切實際了。這時候是不是有辦法通 過什麼公式，從年月日推出這一天是星期幾呢？
答案是肯定的。其實我們也常常在這樣做。我們先舉一個簡單的例子。例如，知道了2004年5月1日是星期六，那麼2004年5月31日「世界無菸日」是星期幾就不難推算出來。我們可以掰指頭從1日數到31日，同時數星期，最後可以數出5月31日是星期一。
其實運用數學計算，可以不用掰指頭。我們知道星期是七天一輪迴的，所以5月1日是星期六，七天後的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍數。同樣，5月15日、5月22日和5月29日也是星期六，它們的日期和5月1日的差值分別是14、21和28，也都是7的倍數。那麼5月31日呢？ 31-1=30，雖然不是7的倍數，但是31除以7，餘數為2，
這就是說，5月31日的星期，是在5月1日的星期之後兩天。星期六之後兩天正是星期一。
這個簡單的計算告訴我們計算星期的一個基本思路：首先，先要知道在想算的日子之前的一個確定的日子是星期幾，拿這一天做為推算的標準，也就是相當於一個計算的「原點」。其次，知道想算的日子和這個確定的日子之間相差多少天，用7除這個日期的差值，餘數就表示想算的日子的星期在確定的日子的星期之後多少天。如果餘數是0，就表示這兩天的星期相同。顯然，如果把這個當作「原點」的日子選為星期日，那
麼餘數剛好等於星期幾，這樣計算就更方便了。
但是直接計算兩天之間的天數，還是不免繁瑣。例如1982年7月29日和2004年5月1日相隔7947天，就不是一下子能算出來的。它包括三段時間：一，1982年7月29日以後這一年的剩餘天數；二，1983-2003這二十一個整年的全部天數；三，從2004年元旦到5月1日經過的天數。第二段比較好算，它等於21*365 5=7670天，之所以要加5，是因為這段時間內有5個閏年。第一段和第三段就比較麻煩了，例如第三段，需要把5月之前的四個月的天數累加起來，再加上日期值，也就是31 29 31 30 1=122天。同理，第
一段需要把7月之後的五個月的天數累加起來，再加上7月剩下的天數，一共是155天。
所以總共的相隔天數是122 7670 155=7947天。
仔細想想，如果把「原點」日子的日期選為12月31日，那麼第一段時間也就是一個整年，這樣一來，第一段時間和第二段時間就可以合併計算，整年的總數剛好相當於兩個日子的年份差異減一。如果進一步將「原點」日子選為公元前1年12月31日（或天文學家所使用的公元0年12月31日），這個整年的總數就正好是想算的日子的年份減一。這樣簡化之後，就只須計算兩段時間：一，這麼多整年的總天數；二，想算的日子是這一年的第幾天。巧的是，按照公曆的年月設置，這樣反推回去，公元前1年12月31日正好是星期日，也就是說，這樣算出來的總天數除以7的餘數正好是星期幾。那麼現在的問題就
只有一個：這麼多整年裡面有多少閏年。這就需要了解公曆的置閏規則了。
我們知道，公曆的平年是365天，閏年是366天。置閏的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被100整除的不閏，能被400整除的又閏。因此，像1600、2000、2400年都是閏年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。西元前1年，依公曆也是閏年。
因此，對於從公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之間的所有整年中的閏年數，就等於
[(Y -1)/4] - [(Y-1)/100] [(Y-1)/400]，
[...]表示只取整數部分。第一項表示需要加上被4整除的年份數，第二項表示需要去掉被100整除的年份數，第三項表示需要再加上被400整除的年份數。之所以Y要減一，這
樣，我們就得到了第一個計算某一天是星期幾的公式：
W = (Y-1)*365 [(Y-1) /4] - [(Y-1)/100] [(Y-1)/400] D． (1)
其中D是這一年在這一年的累積天數。算出來的W就是西元前1年（或西元0年）12月31日到這一天之間的間隔日數。把W用7除，餘數是幾，這一天就是星期幾。例如我們來算2004年5月1日：
W = (2004-1)*365 [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] [(2004-1 )/400] (31 29 31 30 1)= 731702，
731702 / 7 = 104528……6，餘數為六，表示這一天是星期六。這和事實是符合的。
上面的公式(1)雖然很準確，但是計算出來的數字太大了，使用起來很不方便。仔細想想，其實這個間隔天數W的用數只是為了得到它除以7之後的餘數。這啟發我們是不是可以簡化這個W值，只要找一個和它餘數相同的較小的數來代替，用數論上的術語來說，就是找一個和它同餘的較小的正整數，照樣可以計算出準確的星期數。
顯然，W這麼大的原因是因為公式中的第一項(Y-1)*365太大了。其實，
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364 1)
= (Y-1) * (7*52 1)
= 52 * (Y -1) * 7 (Y-1)，
這個結果的第一項是一個7的倍數，除以7餘數為0，因此(Y-1)*365除以7的餘數其實就等於Y-1除以7的餘數。這個關係可以表示為：
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)．
其中，≡是數論中表示同餘的符號，mod 7的意思是指在用7作模數（也就是除數）的情況下≡號兩邊的數是同餘的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，這樣我們就得到了那個著名的、也是最常見到的計算星期幾的公式：
W = (Y- 1) [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] [(Y-1)/400] D． (2)
這個公式雖然好用多了，但還不是最好用的公式，因為累積天數D的計算也比較麻
煩。是不是可以用月份數和日期直接計算呢？答案也是肯定的。我們不妨來觀察一下各
個月的日數，列表如下：
月份：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
------------------------------------------------ --------------------------
天數： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31
如果把這個天數都減去28（=4*7），不影響W除以7的餘數值。這樣我們就得到另一張
表：
月份：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月
--- -------------------------------------------------- -------------------
剩餘天數： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
平年累積： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29
閏年累積： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30
月這五個月的剩餘天數值是3,2,3,2,3；8月到12月這五個月的天數值也是3,2,3,2,3，正好是重複。在對應的累積天數中， 後一月的累積天數和前一月的累積天數之差減去28就是這個重複。正是因為這種規律的存在，平年和閏年的累積天數可以用數學公式很方便地表達：
╭ d； （當M＝1）
D = { 31 d; （當M＝2) (3)
╰ [ 13 * (M 1) / 5 ] - 7 (M-1) * 28 d i． （當M≥3）
其中[...]仍表示只取整數部分；M和d分別是想算的日子的月份和日數；平年i=0，閏年 i=1。對於M≥3的表達式需要說明一下：[13*(M 1)/5]-7算出來的就是上面第二個表中的平年累積值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的總天數。這是一 個很巧妙的辦法，利用取整運算來實現3,2,3,2,3的循環。例如，對2004年5月1日，有：
D = [ 13 * (5 1) / 5 ] - 7 (5-1) * 28 1 1
= 122，
這正是5月1日在2004年的累積天數。
假如，我們再變通一下，把1月和2月當成是上一年的“13月”和“14月”，不僅仍然符合這個公式，而且因為這樣一來，閏日成了上一「年」（一共有14個月）的最後一天，成了d的一部分，於是平閏年的影響也去掉了，公式就簡化成：
D = [ 13 * (M 1) / 5 ] - 7 (M-1) * 28 d． (3≤M≤14) (4)
上面算星期幾的公式，也就可以再簡化成：
W = (Y-1) [(Y-1)/ 4] - [(Y-1)/100] [(Y-1)/400] [ 13 * (M 1) / 5 ] - 7 (M-1) * 28 d．
因為其中的-7和(M-1)*28兩項都可以被7整除，所以去掉這兩項，W除以7的餘數不變， 公式變成：
W = (Y-1) [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] [(Y-1)/400] [ 13 * (M 1) / 5 ] d． (5)
當然，要注意1月和2月已經被當成了上一年的13月和14月，因此在計算1月和2月的日子的星期時，除了M要按13或14算，年份Y也要減一。例如，2004年1月1日是星期四，用這個公式來算，有：
W = (2003-1) [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100 ] [(2003-1)/400] [13*(13 1)/5]
1
= 2002 500 - 20 5 36 1
= 2524；
2524 / 7 = 3360…7 = 3360… …4．這和實際是一致的。
公式(5)已經是從年、月、日來算星期幾的公式了，但它還不是最簡練的，對於年份的處理還有改進的方法。我們先來用這個公式算出每個世紀第一年3月1日的星期，列表如下：
年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101)
-------------------------------------------------- ------------------
星期：4 2
======================== ========================
年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301)
------------------------------------------------ --------------------
星期： 0 5
可以看出，每隔四個世紀，這星期就重複一次。假如我們把301(701,1101,…,2301)年3月1日的星期數看成是-2（按數論中對餘數的定義，-2和5除以7的餘數相同，所以可以做這樣的變換），那麼這個重複序列剛好就是一個4,2,0,-2的等差數列。據此，我們 可以得到下面的計算每個世紀第一年3月1日的星期的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6)
式中，C是該世紀的世紀數減一，mod表示取模運算，即求餘數。例如，對於2001年3月1日，C=20，則：
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4
= 8 - 4
= 4．
把公式(6)代入公式(5)，經過變換，可得：
(Y-1) [(Y-1)/4] - [(Y-1) /100] [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1
(mod 7)． (7)
因此，公式(5)中的(Y-1) [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] [(Y-1)/400]這四項，在計算每個世紀第一年的日期的星期時，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1來代替。這個公式寫出來就是：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 [13 * (M 1) / 5] d． (8)
有了計算每個世紀第一年的日期星期的公式，計算這個世紀其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因為在一個世紀裡，結尾為00的年份是最後一年，因此用不著再考慮「一百年不閏，四百年又閏」的規則，只須考慮「四年一閏」的規則。仿照由公式(1)簡化為公式(2)的方法，我們很容易就可以從式(8)得到一個比公式(5)更簡單的計算任意一天是星期幾的公式：
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 (y-1) [y/4] [13 * (M 1) / 5] d． (9)
式中，y是年份的後兩位數字。
如果再考慮到取模運算不是四則運算，我們還可以把(4 - C mod 4) * 2進一步改寫成只含四則運算的表達式。因為世紀數減一C除以4的商數q和餘數r之間有如下關係：
4q r = C，
其中r即是C mod 4，因此，有：
r = C - 4q
= C - 4 * [C/4]． (10)
則
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C 4 * [C/4]) * 2
＝ 8 - 2C 8 * [ C/4]
≡ [C/4] - 2C 1 (mod 7)． (11)
把式(11)代入(9)，得到：
W = [C/4] - 2C y [y/4] [13 * (M 1) / 5] d - 1． (12)
這個公式由世紀數減一、年份末兩位、月份和日數即可算出W，再除以7，得到的餘數是幾就表示這一天是星期幾，唯一需要變通的是要把1月和2月當成上一年的13月和14月， C和y都以上一年度的年份取值。因此，人們普遍認為這是計算任意一天是星期幾的最好的公式。這個公式最早是由德國數學家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-1899）在1886年推導出來的，因此通稱為蔡勒公式（Zeller's Formula）。為方便口算，式中的[13 * (M 1) / 5]也常寫成[26 * (M 1) / 10]。
現在仍然讓我們來算2004年5月1日的星期，顯然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒
公式，有：
W = [20/4] - 40 4 1 [13 * (5 1) / 5] 1 - 1
= -15．
注意負數不能依習慣的餘數的概念求餘數，只能按數論中的餘數的定義求餘。為了方便 計算，我們可以給它加上一個7的整數倍，使它變成一個正數，例如加上70，得到55。 再除以7，餘6，說明這一天是星期六。這和實際上是一致的，也和公式(2)計算所得的結果一致。
最後要說明的是，上面的公式都是基於公曆（格里高利曆）的置閏規則來考慮的。對於儒略曆，蔡勒也推出了對應的公式是：
W = 5 - C y [y/4] [13 * (M 1) / 5] d - 1． (13)
這樣，我們終於一勞永逸地解決了不查日曆計算任何一天是星期幾的問題。
