程式設計師進階篇之hash表的脾性

張炎潑先生於2016年加入白山雲科技，主要負責對象儲存研發、資料跨機房分佈及修復問題解決等工作。以達成100PB級資料儲存為目標，其帶領團隊完成全網分散式儲存系統的設計、實現與部署工作，將資料「冷」「熱」分離，使冷資料成本壓縮至1.2倍冗餘度。

張炎潑先生2006年至2015年，曾就職於新浪，負責Cross-IDC PB級雲端儲存服務的架構設計、協作流程製定、程式碼規格和實施標準制定及大部分功能實現等工作，支援新浪微博、微盤、視訊、SAE、音樂、軟體下載等新浪內部儲存等業務；2015年至2016年，於美團擔任高級技術專家，設計了跨機房的百PB物件儲存解決方案：設計和實現高並發和高可靠的多副本複製策略，優化Erasure Code降低90%IO開銷。

軟體開發中，一個hash表相當於把n個key隨機放入到b個bucket中，以實現n個資料在b個單位空間的儲存。

我們發現hash表中存在一些有趣現象：

#hash表中key的分散法則

當hash表中key和bucket數量一樣時（n/b=1）：

• 37% 的bucket是空的

• 37% 的bucket裡只有1個key

• 26% 的bucket裡有1個以上的key(hash衝突)

##下圖直覺的展示了當n=b=20時，hash表裡每個bucket中key的數量（按照key的數量對bucket做排序）：

往往我們對hash表的第一感覺是：如果將key隨機放入所有的bucket，bucket中key的數量較為均勻，每個bucket裡key數量的期望是1。

而實際上，bucket裡key的分佈在n較小時非常不均勻；當n增大時，才會逐漸趨於平均。

key的數量對3類bucket數量的影響

下表表示當b不變，n增加時，n/b的值如何影響3類bucket的數量佔比（衝突率即含有多於1個key的bucket佔比)：

#更直觀一點，我們用下圖來展示空bucket率和衝突率隨n/b值的變化趨勢：

key數量對bucket均勻程度的影響

上面幾組數字是當n/b較小時有意義的參考值，但隨n/b逐漸增大，空bucket與1個key的bucket數量幾乎為0，絕大多數bucket含有多個key。

當n/b超過1（1個bucket允許儲存多個key)， 我們主要觀察的物件就轉變成bucket裡key數量的分佈規律。

下表表示當n/b較大，每個bucket裡key的數量趨於均勻時，不均勻的程度是多少。

為了描述這種不均勻的程度，我們使用bucket中key數量的最大值和最小值之間的比例（(most-fewest)/most)來表示。

下表列出了b=100時，隨n增大，key的分佈。

可以看出，隨著bucket裡key平均數量的增加，其分佈的不均勻程度也逐漸降低。

和空bucket或1个key的bucket的占比不同n/b，均匀程度不仅取决于n/b的值，也受b值的影响，后面会提到。

未使用统计中常用的均方差法去描述key分布的不均匀程度，是因为软件开发过程中，更多时候要考虑最坏情况下所需准备的内存等资源。

Load Factor：n/b

#hash表中常用一個概念 load factor α=n/b，來描述hash表的特性。

通常，基於記憶體儲存的hash表，它的 n/b ≤0.75。這樣設定，既可節省空間，也可以保持key的衝突率相對較低，低衝突率意味著低頻率的hash重定位，hash表的插入會更快。

线性探测是一个经常被使用的解决插入时hash冲突的算法，它在1个bucket出现冲突时，按照逐步增加的步长顺序向后查看这个bucket后面的bucket，直到找到1个空bucket。因此它对hash的冲突非常敏感。

在n/b=0.75 這個場景中，如果不使用線性探測（譬如使用bucket內的鍊錶來保存多個key)，大約有47% 的bucket是空的；如果使用線性探測，這47%的bucket中，大約一半的bucket會被線性探測填滿。

在很多内存hash表的实现中，选择n/b＝<p>hash表特性小秘訣：<strong></strong></p>

• #hash表本身就是一個透過一定的空間浪費來換取效率的演算法。低時間開銷(O(1))、低空間浪費、低衝突率，三者不可同時兼得；

• hash表只適合純記憶體資料結構的儲存：

  
  

• hash表透過空間浪費換取了存取速度的提升；磁碟的空間浪費是無法忍受的，但對記憶體的少許浪費是可接受的；

• hash表只適合隨機存取快的儲存媒體。硬碟上的資料儲存更多使用btree或其他有序的資料結構。

• 多數高階語言（內建hash table、hash set等)都保持n/b≤

• ################################################ #hash表在n/b較小時，不會均勻分配key。 ###

Load Factor：n/b>1

另外一种hash表的实现，专门用来存储比较多的key，当 n/b>1n/b1.0时，线性探测失效（没有足够的bucket存储每个key)。这时1个bucket里不仅存储1个key，一般在一个bucket内用chaining，将所有落在这个bucket的key用链表连接起来，来解决冲突时多个key的存储。

链表只在n/b不是很大时适用。因为链表的查找需要O(n)的时间开销，对于非常大的n/b，有时会用tree替代链表来管理bucket内的key。

n/b值较大的使用场景之一是：将一个网站的用户随机分配到多个不同的web-server上，这时每个web-server可以服务多个用户。多数情况下，我们都希望这种分配能尽可能均匀，从而有效利用每个web-server资源。

这就要求我们关注hash的均匀程度。因此，接下来要讨论的是，假定hash函数完全随机的，均匀程度根据n和b如何变化。

n/b 越大，key的分布越均匀

当 n/b 足够大时，空bucket率趋近于0，且每个bucket中key的数量趋于平均。每个bucket中key数量的期望是：

avg=n/b

定义一个bucket平均key的数量是100%：bucket中key的数量刚好是n/b，下图分别模拟了 b=20，n/b分别为 10、100、1000时，bucket中key的数量分布。

可以看出，当 n/b 增大时，bucket中key数量的最大值与最小值差距在逐渐缩小。下表列出了随b和n/b增大，key分布的均匀程度的变化：

结论:

计算

上述大部分结果来自于程序模拟，现在我们来解决从数学上如何计算这些数值。

每类bucket的数量

空bucket数量

对于1个key, 它不在某个特定的bucket的概率是 (b−1)/b
所有key都不在某个特定的bucket的概率是( (b−1)/b)n

已知：

空bucket率是：

空bucket数量为：

有1个key的bucket数量

n个key中，每个key有1/b的概率落到某个特定的bucket里，其他key以1-(1/b)的概率不落在这个bucket里，因此，对某个特定的bucket，刚好有1个key的概率是：

刚好有1个key的bucket数量为：

多个key的bucket

剩下即为含多个key的bucket数量：

key在bucket中分布的均匀程度

类似的，1个bucket中刚好有i个key的概率是：n个key中任选i个，并都以1/b的概率落在这个bucket里，其他n-i个key都以1-1/b的概率不落在这个bucket里，即：

这就是著名的二项式分布。

我们可通过二项式分布估计bucket中key数量的最大值与最小值。

通过正态分布来近似

当 n, b 都很大时，二项式分布可以用正态分布来近似估计key分布的均匀性：

p=1/b，1个bucket中刚好有i个key的概率为：

1个bucket中key数量不多于x的概率是：

所以，所有不多于x个key的bucket数量是：

bucket中key数量的最小值，可以这样估算: 如果不多于x个key的bucket数量是1，那么这唯一1个bucket就是最少key的bucket。我们只要找到1个最小的x，让包含不多于x个key的bucket总数为1, 这个x就是bucket中key数量的最小值。

计算key数量的最小值x

一个bucket里包含不多于x个key的概率是：

Φ(x) 是正态分布的累计分布函数，当x-μ趋近于0时，可以使用以下方式来近似：

这个函数的计算较难，但只是要找到x，我们可以在[0~μ]的范围内逆向遍历x，以找到一个x 使得包含不多于x个key的bucket期望数量是1。

x可以认为这个x就是bucket里key数量的最小值，而这个hash表中，不均匀的程度可以用key数量最大值与最小值的差异来描述: 因为正态分布是对称的，所以key数量的最大值可以用 μ + (μ-x) 来表示。最终，bucket中key数量最大值与最小值的比例就是：

（μ是均值n/b）

程序模拟

以下python脚本模拟了key在bucket中分布的情况，同时可以作为对比，验证上述计算结果。

import sysimport mathimport timeimport hashlibdef normal_pdf(x, mu, sigma):
    x = float(x)
    mu = float(mu)

    m = 1.0 / math.sqrt( 2 * math.pi ) / sigma
    n = math.exp(-(x-mu)**2 / (2*sigma*sigma))return m * ndef normal_cdf(x, mu, sigma):
    # integral(-oo,x)

    x = float(x)
    mu = float(mu)
    sigma = float(sigma)    # to standard form
    x = (x - mu) / sigma

    s = x
    v = x    for i in range(1, 100):
        v = v * x * x / (2*i+1)
        s += v    return 0.5 + s/(2*math.pi)**0.5 * math.e ** (-x*x/2)def difference(nbucket, nkey):

    nbucket, nkey= int(nbucket), int(nkey)    # binomial distribution approximation by normal distribution
    # find the bucket with minimal keys.
    #
    # the probability that a bucket has exactly i keys is:
    #   # probability density function
    #   normal_pdf(i, mu, sigma)
    #
    # the probability that a bucket has 0 ~ i keys is:
    #   # cumulative distribution function
    #   normal_cdf(i, mu, sigma)
    #
    # if the probability that a bucket has 0 ~ i keys is greater than 1/nbucket, we
    # say there will be a bucket in hash table has:
    # (i_0*p_0 + i_1*p_1 + ...)/(p_0 + p_1 + ..) keys.
    p = 1.0 / nbucket
    mu = nkey * p
    sigma = math.sqrt(nkey * p * (1-p))

    target = 1.0 / nbucket
    minimal = mu    while True:

        xx = normal_cdf(minimal, mu, sigma)        if abs(xx-target) < target/10:            break

        minimal -= 1

    return minimal, (mu-minimal) * 2 / (mu + (mu - minimal))def difference_simulation(nbucket, nkey):

    t = str(time.time())
    nbucket, nkey= int(nbucket), int(nkey)

    buckets = [0] * nbucket    for i in range(nkey):
        hsh = hashlib.sha1(t + str(i)).digest()
        buckets[hash(hsh) % nbucket] += 1

    buckets.sort()
    nmin, mmax = buckets[0], buckets[-1]    return nmin, float(mmax - nmin) / mmaxif __name__ == "__main__":

    nbucket, nkey= sys.argv[1:]

    minimal, rate = difference(nbucket, nkey)    print &#39;by normal distribution:&#39;
    print &#39;     min_bucket:&#39;, minimal    print &#39;     difference:&#39;, rate

    minimal, rate = difference_simulation(nbucket, nkey)    print &#39;by simulation:&#39;
    print &#39;     min_bucket:&#39;, minimal    print &#39;     difference:&#39;, rate

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