Java中Prime演算法的原理與實作（總結分享）

這篇文章為大家帶來了關於java的相關知識，Prime演算法是一種窮舉查找演算法來從一個連通圖中建構一棵最小生成樹。本文主要為大家介紹了Java中Prime演算法的原理與實現，有興趣的可以學習一下。

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Prim演算法介紹

1.點睛

#在生成樹的過程中，把已經在生成樹中的節點看作一個集合，把剩下的節點看作另外一個集合，從連接兩個集合的邊中選擇一條權值最小的邊即可。

2.演算法介紹

先任選一個節點，例如節點1，把它放在集合 U 中，U={1},那麼剩下的節點為 V-U={2,3,4,5,6,7},集合 V 是圖的所有節點集合。

現在只要看看連接兩個集合（U 和 V-U）的邊中，哪一邊的權值最小，把權值最小的邊關聯的節點加入集合 U 中。從上圖可以看出，連接兩個集合的3 條邊中，1-2 邊的權值最小，選中它，把節點2 加入集合 U 中，U={1,2}，V - U={ 3,4,5,6}，如下圖所示。

再從連接兩個集合（U 和 V-U）的邊中選擇一條權最小的邊。從上圖看出，在連接兩個集合的4條邊中，節點2到節點7的邊權值最小，選取這條邊，把節點7加入集合U={1,2,7}中，V-U ={3,4,5,6}。

如此下去，直到 U=V 結束，選取的邊和所有的節點所組成的圖就是最小生成樹。這就是 Prim 演算法。

直觀地看圖，很容易找出集合 U 到 集合 U-V 的邊中哪條邊的權值是最小的，但在程序中窮舉這些邊，再找最小值，則時間複雜度太高。可以透過設定陣列來巧妙解決這個問題，closet[j] 表示集合 V-U 中的節點 j 到集合 U 中的最鄰近點，lowcost[j] 表示集合 V-U 中節點 j 到集合U 中最鄰近點的邊值，即邊(j,closest[j]) 的權值。

例如在上圖中，節點 7 到集合 U 中的最鄰近點是2，cloeest[7]=2。節點 7 到最鄰近點2 的邊值為1，即邊(2,7)的權值，記為 lowcost[7]=1,如下圖所示。

所以只要在集合 V - U 中找到 lowcost[] 只最小的節點。

3. 演算法步驟

1.初始化

令集合 U={u0}，u0 屬於 V，並初始化陣列 closest[]、lowcost[]和s[ ]。

2.在集合 V-U 中找 lowcost 值最小的節點t，即 lowcost[t]=min{lowcost[j]},j 屬於 V-U，滿足此公式的節點 t 則為集合 V-U 中連接 V-U，滿足此公式的節點 t 則為集合 V-U 中連接 U的最鄰近點。

3.將節點 t 加入集合 U 。

4.若集合 V - U 為空，則演算法結束，否則轉向步驟 5。

5.對集合 V-U 中的所有節點 j 都更新其 lowcost[] 和 closest[]。 if(C[t][j]

依照上面步驟，最終可以得到一棵權值總和最小的生成樹。

4.圖解

圖 G=（V,E）是無向連通帶權圖，如下圖所示。

1 初始化。假設 u0=1，令集合 U={1},集合 V-U={2,3,4,5,6,7},s[1]=true，初始化陣列 closest[]：除了節點1，其餘節點均為1，表示集合 V-U 中的節點到集合 U 的最鄰近點均為1.lowcost[]:節點1到集合 V-U 中節點的邊值。 closest[] 和 lowcost[] 如下圖。

初始化後的圖為：

######

2 找 lowcost 最小的節點，對應的 t=2，選取的邊和節點如下圖。

3 加入集合U。將節點 t 加入集合 U 中，U={1,2}，同時更新 V-U={3,4,5,6,7}

#4 更新。對 t 在集合 V-U 中的每一個鄰接點 j,都可以藉助 t 更新。節點 2 的鄰接點是節點 3 和節點7。

C[2][3]=20

# C[2][7]=1

更新後的closest[]和 lowcost[] 如下圖所示。

更新後的集合如下：

#5 找 lowcost 最小的節點，對應的 t= 7，選取的邊和節點如下圖。

6  加入集合U中。將節點 t 加入集合 U 中，U={1,2,7}，同時更新 V-U={3,4,5,6}

7 更新。對 t 在集合 V-U 中的每一個鄰接點 j,都可以藉助 t 更新。節點 7 的鄰接點是節點 3、4、5、6。

• C[7][3]=4
• C[7][4]=4
• #C[7 ][5]=4
• C[7][6]=4< ;lowcost[6]=28，更新最鄰近距離lowcost[3]=25,最鄰近點closest[6]=7;

更新後的closest[] 和 lowcost[] 如下圖所示。

更新後的集合如下：

#8 找 lowcost 最小的節點，對應的 t= 3，選取的邊和節點如下圖。

9 加入集合U。將節點 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,7}，同時更新 V-U={4,5,6}

10 更新。對 t 在集合 V-U 中的每一個鄰接點 j,都可以藉助 t 更新。節點 3 的鄰接點是節點 4。

C[3][4]=15>lowcost[4]=9，不更新

closest[] 和 lowcost[] 數組不改變。

更新後的集合如下：

11 找 lowcost 最小的節點，對應的 t=4，選取的邊和節點如下圖。

12 加入集合U。將節點 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,7}，同時更新 V-U={5,6}

13 更新。對 t 在集合 V-U 中的每一個鄰接點 j,都可以藉助 t 更新。節點 4 的鄰接點是節點 5。

C[4][5]=3

#更新後的closest[] 和 lowcost[] 如下圖所示。

更新後的集合如下：

#14 找 lowcost 最小的節點，對應的 t= 5，選取的邊和節點如下圖。

15 加入集合U。將節點 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,7}，同時更新 V-U={6}

16 更新。對 t 在集合 V-U 中的每一個鄰接點 j,都可以藉助 t 更新。節點 5 的鄰接點是節點 6。

C[5][6]=17

#更新後的集合如下圖：

17 找 lowcost 最小的節點，對應的 t=6，選取的邊和節點如下圖。

18 加入集合U。將節點 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,6,7}，同時更新 V-U={}

19 更新。對 t 在集合 V-U 中的每一個鄰接點 j,都可以藉助 t 更新。節 6 在集合 V-U 中無鄰接點。不用更新 closest[] 和 lowcost[] 。

20 所得的最小生成樹如下。最小生成樹的權值總和為57.

Prime 演算法實作

1.建構後的圖

2.程式碼

package graph.prim;
 
import java.util.Scanner;
 
public class Prim {
    static final int INF = 0x3f3f3f3f;
    static final int N = 100;
    // 如果s[i]=true,说明顶点i已加入U
    static boolean s[] = new boolean[N];
    static int c[][] = new int[N][N];
    static int closest[] = new int[N];
    static int lowcost[] = new int[N];
 
    static void Prim(int n) {
        // 初始时，集合中 U 只有一个元素，即顶点 1
        s[1] = true;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (i != 1) {
                lowcost[i] = c[1][i];
                closest[i] = 1;
                s[i] = false;
            } else
                lowcost[i] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int temp = INF;
            int t = 1;
            // 在集合中 V-u 中寻找距离集合U最近的顶点t
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (!s[j] && lowcost[j] < temp) {
                    t = j;
                    temp = lowcost[j];
                }
            }
            if (t == 1)
                break; // 找不到 t，跳出循环
            s[t] = true; // 否则，t 加入集合U
            for (int j = 1; j <= n; j++) { // 更新 lowcost 和 closest
                if (!s[j] && c[t][j] < lowcost[j]) {
                    lowcost[j] = c[t][j];
                    closest[j] = t;
                }
            }
        }
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        int n, m, u, v, w;
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        n = scanner.nextInt();
        m = scanner.nextInt();
        int sumcost = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                c[i][j] = INF;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            u = scanner.nextInt();
            v = scanner.nextInt();
            w = scanner.nextInt();
            c[u][v] = c[v][u] = w;
        }
        Prim(n);
        System.out.println("数组lowcost:");
 
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            System.out.print(lowcost[i] + " ");
 
        System.out.println();
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            sumcost += lowcost[i];
        System.out.println("最小的花费：" + sumcost);
    }
}

3.測試

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