前言
圖是一種抽象資料結構，本質和樹狀結構是一樣的。
圖與樹比較，圖具有封閉性，可以把樹結構看成是圖結構的前生。如果將兄弟節點或子節點之間的水平連接應用於樹狀結構，則可以建立圖形結構。
樹適合描述從上向下的一對多的資料結構，如公司的組織結構。
圖適合描述更複雜的多對多資料結構，如複雜的群體社交關係。
1. 圖理論
借助電腦解決現實世界中的問題時，除了儲存現實世界中的訊息，也需要正確地描述訊息之間的關係。
如在開發地圖程式時，需要在電腦中正確模擬出城市與城市、或城市中各道路之間的關係圖。只有在這個基礎上，才能用演算法計算出從一個城市到另一個城市，或從指定起點到目標點的最佳路徑。
類似的還有航班路線圖、火車線圖、社交交系圖。
圖結構可以有效地反映現實世界中如上所述資訊之間的複雜關係。以此可使用演算法方便的計算出如航班線路中的最短路徑、如火車線路中的最佳中轉方案，如社交圈中誰與誰關係最好、婚姻網中誰與誰最般配……
1.1 圖的概念
頂點：頂點也稱為節點，可認為圖就是頂點組成的集合。頂點本身是有數據意義的，所以頂點都會帶有附加訊息，稱作"有效載荷"。
頂點可以是現實世界中的城市、地名、站名、人……
邊： 圖中的邊用來描述頂點之間的關係。邊可以有方向也可以沒有方向，有方向的邊又可分為單向邊和雙向邊。
如下圖（項點1）到（頂點2）之間的邊只有一個方向（箭頭所示為方向），稱為單向邊。類似現實世界中的單向道。
（頂點1）到（頂點2）之間的邊有兩個方向（雙向箭頭），稱為雙向邊。 城市與城市的關係為雙向邊。
權重： 邊上可以附加價值資訊，附加的值稱為權重。有權重的邊用來描述一個頂點到另一個頂點的連結強度。
如現實生活中的地鐵路線中，權重可以描述兩個車站之間時間長度、公里數、票價……
邊描述的是頂點之間的關係，權重描述的是連結的差異性。
路徑：
#先了解現實世界中路徑概念
如：從一個城市開車到另一個城市，就需要先確定好路徑。也就是 從出發地到目的地要經過那些城市？要走多少里程？
可以說路徑是由邊連接的頂點所組成的序列。因路徑不只一條，所以，從一個項點到另一個項點的路徑描述也不指一種。
在圖結構中如何計算路徑？
沒有權重路徑的長度是路徑上的邊數。
有權重路徑的長度是路徑上的邊的權重總和。
如上圖從（頂點1）到（頂點3）的路徑長度為 8。
環： 從起點出發，最後又回到起點（終點也是起點）就會形成一個環，環是一種特殊的路徑。如上 (V1, V2, V3, V1) 就是一個環。
圖的型別：
綜上所述，圖表可以分為如下幾類：
有向圖： 邊有方向的圖稱為有向圖。
無向圖： 邊沒有方向的圖表稱為無向圖。
加權圖： 邊上面有權重資訊的圖表稱為加權圖。
無環圖： 沒有環的圖形稱為無環圖。
有向無環圖： 沒有環的有向圖，簡稱 DAG。
1.2 定義圖
根據圖的特性，圖資料結構中至少要包含兩類資訊：
所有頂點構成集合訊息，這裡以 V 表示（如地圖程式中，所有城市構在頂點集合）。
所有邊構成集合訊息，這裡用 E 表示（城市與城市之間的關係描述）。
如何描述邊？
邊用來表示項點之間的關係。所以一條邊可以包括 3 個元資料（起點，終點，權重）。當然，權重是可以省略的，但一般研究圖時，都是指的加權圖。
若以 G 表示圖，則 G = (V, E)。每一邊可以用二元組 (fv, ev) 也可以使用 三元組 （fv,ev,w） 描述。
fv 表示起點，ev 表示終點。且 fv，ev 資料必須引用於 V 集合。
如上的圖結構可以描述如下：
# 5 个顶点
V={A0,B1,C2,D3,E4}
# 7 条边
E={ (A0,B1,3),(B1,C2,4),(C2,D3,6),(C2,E4,1),(D3,E4,2),(A0,D3,5),(E4,B1,7)}登入後複製
1.3 圖的抽象資料結構
圖的抽象資料描述中至少要有的方法：
Graph ( ) ： 用來建立一個新圖。
add_vertex( vert )：在圖中新增一個節點，參數應該是一個節點類型的物件。
add_edge(fv，tv )：在 2 個項點之間建立起邊關係。
add_edge(fv，tv，w )：在 2 個項點之間建立起一邊並指定連線權重。
find_vertex( key ): 根據關鍵字 key 在圖中尋找頂點。
find_vertexs( )：查詢所有頂點資訊。
find_path( fv,tv)：找出.從一個頂點到另一個頂點之間的路徑。
2. 圖的儲存實作
圖的儲存實作主流有 2 種：鄰接矩陣與連結表，本文主要介紹鄰接矩陣。
2.1 鄰接矩陣
使用二維矩陣（陣列）儲存頂點之間的關係。
如 graph[5][5] 可以儲存5 個頂點的關係數據，行號和列號表示頂點，第v 行的第w 列交叉的單元格中的數值表示從頂點v 到頂點w 的邊的權重，如 grap[2][3]=6 表示C2 頂點和D3 頂點的有連接（相鄰），權重為6
相鄰矩陣的優點就是簡單，可以清楚表示那些頂點是相連的。由於並非每對頂點之間都存在連接，因此矩陣中存在許多未被利用的空間，通常被稱為「稀疏矩陣」。
只有當每一個頂點和其它頂點都有關係時，矩陣才會填滿。如果圖結構的關係不是太複雜，使用這種結構儲存圖資料會浪費大量的空間。
鄰接矩陣適合表示關係複雜的圖結構，如網路上網頁之間的連結、社交圈中人與人之間的社會關係……
2.2 編碼實現鄰接矩陣
因頂點本身有資料意義，需要先定義頂點型別。
頂點類別：
"""
节（顶）点类
"""
class Vertex:
def __init__(self, name, v_id=0):
# 顶点的编号
self.v_id = v_id
# 顶点的名称
self.v_name = name
# 是否被访问过:False 没有 True:有
self.visited = False
# 自我显示
def __str__(self):
return '[编号为 {0}，名称为 {1} ] 的顶点'.format(self.v_id, self.v_name)登入後複製
頂點類別中 v_id 和 v_name 很好理解。為什麼要新增一個 visited？
這個變數用來記錄頂點在路徑搜尋過程中是否已經被搜尋過，避免重複搜尋計算。
圖類別：圖類別的方法較多，這裡逐方法介紹。
初始化方法
class Graph:
"""
nums:相邻矩阵的大小
"""
def __init__(self, nums):
# 一维列表，保存节点，最多只能有 nums 个节点
self.vert_list = []
# 二维列表，存储顶点及顶点间的关系(权重)
# 初始权重为 0 ，表示节点与节点之间还没有建立起关系
self.matrix = [[0] * nums for _ in range(nums)]
# 顶点个数
self.v_nums = 0
# 使用队列模拟队列或栈，用于广度、深度优先搜索算法
self.queue_stack = []
# 保存搜索到的路径
self.searchPath = []
# 暂省略……登入後複製
初始化方法用來初始化圖中的資料類型：
一維列表 vert_list 保存所有頂點數據。
二維列表 matrix 保存頂點與頂點之間的關聯資料。
queue_stack 使用清單模擬佇列或堆疊，用於後續的廣度搜尋和深度搜尋。
怎麼使用清單模擬佇列或堆疊？
清單有 append()、pop() 2 個很價值的方法。
append() 用來在清單中新增數據，且每次都是從清單最後面新增。
pop() 預設從清單最後刪除且彈出數據， pop(參數) 可提供索引值用來從指定位置刪除且彈出資料。
使用 append() 和 pop() 方法就能模擬堆疊，從同一個地方進出資料。
使用 append() 和 pop(0) 方法就能模擬佇列，從後面新增數據，從最前面取得資料
##searchPath ：用來保存使用廣度或深度優先路徑搜尋中的結果。
新增節（頂）點方法：#
"""
添加新顶点
"""
def add_vertex(self, vert):
if vert in self.vert_list:
# 已经存在
return
if self.v_nums >= len(self.matrix):
# 超过相邻矩阵所能存储的节点上限
return
# 顶点的编号内部生成
vert.v_id = self.v_nums
self.vert_list.append(vert)
# 数量增一
self.v_nums += 1登入後複製
上述方法注意一点，节点的编号由图内部逻辑提供，便于节点编号顺序的统一。
添加边方法
此方法是邻接矩阵表示法的核心逻辑。
'''
添加节点与节点之间的边，
如果是无权重图，统一设定为 1
'''
def add_edge(self, from_v, to_v):
# 如果节点不存在
if from_v not in self.vert_list:
self.add_vertex(from_v)
if to_v not in self.vert_list:
self.add_vertex(to_v)
# from_v 节点的编号为行号，to_v 节点的编号为列号
self.matrix[from_v.v_id][to_v.v_id] = 1
'''
添加有权重的边
'''
def add_edge(self, from_v, to_v, weight):
# 如果节点不存在
if from_v not in self.vert_list:
self.add_vertex(from_v)
if to_v not in self.vert_list:
self.add_vertex(to_v)
# from_v 节点的编号为行号，to_v 节点的编号为列号
self.matrix[from_v.v_id][to_v.v_id] = weight登入後複製
添加边信息的方法有 2 个，一个用来添加无权重边，一个用来添加有权重的边。
查找某节点
使用线性查找法从节点集合中查找某一个节点。
'''
根据节点编号返回节点
'''
def find_vertex(self, v_id):
if v_id >= 0 or v_id <= self.v_nums:
# 节点编号必须存在
return [tmp_v for tmp_v in self.vert_list if tmp_v.v_id == v_id][0]登入後複製
查询所有节点
'''
输出所有顶点信息
'''
def find_only_vertexes(self):
for tmp_v in self.vert_list:
print(tmp_v)登入後複製
此方法仅为了查询方便。
查询节点之间的关系
'''
迭代节点与节点之间的关系（边）
'''
def find_vertexes(self):
for tmp_v in self.vert_list:
edges = self.matrix[tmp_v.v_id]
for col in range(len(edges)):
w = edges[col]
if w != 0:
print(tmp_v, '和', self.vert_list[col], '的权重为：', w)登入後複製
测试代码：
if __name__ == "__main__":
# 初始化图对象
g = Graph(5)
# 添加顶点
for _ in range(len(g.matrix)):
v_name = input("顶点的名称（ q 为退出）：")
if v_name == 'q':
break
v = Vertex(v_name)
g.add_vertex(v)
# 节点之间的关系
infos = [(0, 1, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 4), (2, 3, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 7)]
for i in infos:
v = g.find_vertex(i[0])
v1 = g.find_vertex(i[1])
g.add_edge(v, v1, i[2])
# 输出顶点及边a
print("-----------顶点与顶点关系--------------")
g.find_vertexes()
'''
输出结果：
顶点的名称（ q 为退出）：A
顶点的名称（ q 为退出）：B
顶点的名称（ q 为退出）：C
顶点的名称（ q 为退出）：D
顶点的名称（ q 为退出）：E
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 3
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 5
[编号为 1，名称为 B ] 的顶点 和 [编号为 2，名称为 C ] 的顶点 的权重为： 4
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 6
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 1
[编号为 3，名称为 D ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 2
[编号为 4，名称为 E ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 7
'''登入後複製
3. 搜索路径
在图中经常做的操作，就是查找从一个顶点到另一个顶点的路径。如怎么查找到 A0 到 E4 之间的路径长度：
从人的直观思维角度查找一下，可以找到如下路径：
在路径查找时，人的思维具有知识性和直观性特点，因此不存在所谓的尝试或碰壁问题。而计算机是试探性思维，就会出现这条路不通，再找另一条路的现象。
所以路径算法中常常会以错误为代价，在查找过程中会走一些弯路。常用的路径搜索算法有 2 种：
3.1 广度优先搜索
先看一下广度优先搜索的示意图：
广度优先搜索的基本思路：
使用广度搜索到的路径与候选节点进入队列的先后顺序有关系。如第 1 步确定候选节点时 B1 和 D3 谁先进入队列，对于后面的查找也会有影响。
上图使用广度搜索可找到 A0~E4 路径是：
{A0，B1，D3，C2，E4}
其实 {A0，B1，C2，E4} 也是一条有效路径，有可能搜索不出来，这里因为搜索到 B1 后不会马上搜索 C2，因为 B3 先于 C2 进入，广度优先搜索算法只能保证找到路径，而不能保存找到最佳路径。
编码实现广度优先搜索：
广度优先搜索需要借助队列临时存储选节点，本文使用列表模拟队列。
在图类中实现广度优先搜索算法的方法：
class Graph():
# 省略其它代码
'''
广度优先搜索算法
'''
def bfs(self, from_v, to_v):
# 查找与 fv 相邻的节点
self.find_neighbor(from_v)
# 临时路径
lst_path = [from_v]
# 重复条件：队列不为空
while len(self.queue_stack) != 0:
# 从队列中一个节点（模拟队列）
tmp_v = self.queue_stack.pop(0)
# 添加到列表中
lst_path.append(tmp_v)
# 是不是目标节点
if tmp_v.v_id == to_v.v_id:
self.searchPath.append(lst_path)
print('找到一条路径', [v_.v_id for v_ in lst_path])
lst_path.pop()
else:
self.find_neighbor(tmp_v)
'''
查找某一节点的相邻节点，并添加到队列（栈）中
'''
def find_neighbor(self, find_v):
if find_v.visited:
return
find_v.visited = True
# 找到保存 find_v 节点相邻节点的列表
lst = self.matrix[find_v.v_id]
for idx in range(len(lst)):
if lst[idx] != 0:
# 权重不为 0 ，可判断相邻
self.queue_stack.append(self.vert_list[idx])登入後複製
广度优先搜索过程中，需要随时获取与当前节点相邻的节点，find_neighbor() 方法的作用就是用来把当前节点的相邻节点压入队列中。
测试广度优先搜索算法：
if __name__ == "__main__":
# 初始化图对象
g = Graph(5)
# 添加顶点
for _ in range(len(g.matrix)):
v_name = input("顶点的名称（ q 为退出）：")
if v_name == 'q':
break
v = Vertex(v_name)
g.add_vertex(v)
# 节点之间的关系
infos = [(0, 1, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 4), (2, 3, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 7)]
for i in infos:
v = g.find_vertex(i[0])
v1 = g.find_vertex(i[1])
g.add_edge(v, v1, i[2])
print("----------- 广度优先路径搜索--------------")
f_v = g.find_vertex(0)
t_v = g.find_vertex(4)
g.bfs(f_v,t_v)
'''
输出结果
顶点的名称（ q 为退出）：A
顶点的名称（ q 为退出）：B
顶点的名称（ q 为退出）：C
顶点的名称（ q 为退出）：D
顶点的名称（ q 为退出）：E
----------- 广度优先路径搜索--------------
找到一条路径 [0, 1, 3, 2, 4]
找到一条路径 [0, 1, 3, 2, 3, 4]
'''登入後複製
使用递归实现广度优先搜索算法：
'''
递归方式实现广度搜索
'''
def bfs_dg(self, from_v, to_v):
self.searchPath.append(from_v)
if from_v.v_id != to_v.v_id:
self.find_neighbor(from_v)
if len(self.queue_stack) != 0:
self.bfs_dg(self.queue_stack.pop(0), to_v)登入後複製
3.2 深度优先搜索算法
先看一下深度优先算法的示意图。
深度优先搜索算法和广度优先搜索算法不同的地方在于：深度优先搜索算法将候选节点放在堆栈中。因栈是先进后出，所以，搜索到的节点顺序不一样。
使用循环实现深度优先搜索算法：
深度优先搜索算法需要用到栈，本文使用列表模拟。
'''
深度优先搜索算法
使用栈存储下一个需要查找的节点
'''
def dfs(self, from_v, to_v):
# 查找与 from_v 相邻的节点
self.find_neighbor(from_v)
# 临时路径
lst_path = [from_v]
# 重复条件：栈不为空
while len(self.queue_stack) != 0:
# 从栈中取一个节点（模拟栈）
tmp_v = self.queue_stack.pop()
# 添加到列表中
lst_path.append(tmp_v)
# 是不是目标节点
if tmp_v.v_id == to_v.v_id:
self.searchPath.append(lst_path)
print('找到一条路径:', [v_.v_id for v_ in lst_path])
lst_path.pop()
else:
self.find_neighbor(tmp_v)登入後複製
测试：
if __name__ == "__main__":
# 初始化图对象
g = Graph(5)
# 添加顶点
for _ in range(len(g.matrix)):
v_name = input("顶点的名称（ q 为退出）：")
if v_name == 'q':
break
v = Vertex(v_name)
g.add_vertex(v)
# 节点之间的关系
infos = [(0, 1, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 4), (2, 3, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 7)]
for i in infos:
v = g.find_vertex(i[0])
v1 = g.find_vertex(i[1])
g.add_edge(v, v1, i[2])
# 输出顶点及边a
print("-----------顶点与顶点关系--------------")
g.find_vertexes()
print("----------- 深度优先路径搜索--------------")
f_v = g.find_vertex(0)
t_v = g.find_vertex(4)
g.dfs(f_v, t_v)
'''
输出结果
顶点的名称（ q 为退出）：A
顶点的名称（ q 为退出）：B
顶点的名称（ q 为退出）：C
顶点的名称（ q 为退出）：D
顶点的名称（ q 为退出）：E
-----------顶点与顶点关系--------------
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 3
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 5
[编号为 1，名称为 B ] 的顶点 和 [编号为 2，名称为 C ] 的顶点 的权重为： 4
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 6
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 1
[编号为 3，名称为 D ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 2
[编号为 4，名称为 E ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 7
----------- 深度优先路径搜索--------------
找到一条路径: [0, 3, 4]
找到一条路径: [0, 3, 1, 2, 4]
'''登入後複製
使用递归实现深度优先搜索算法：
'''
递归实现深度搜索算法
'''
def def_dg(self, from_v, to_v):
self.searchPath.append(from_v)
if from_v.v_id != to_v.v_id:
# 查找与 from_v 节点相连的子节点
lst = self.find_neighbor_(from_v)
if lst is not None:
for tmp_v in lst[::-1]:
self.def_dg(tmp_v, to_v)
"""
查找某一节点的相邻节点，以列表方式返回
"""
def find_neighbor_(self, find_v):
if find_v.visited:
return
find_v.visited = True
# 查找与 find_v 节点相邻的节点
lst = self.matrix[find_v.v_id]
return [self.vert_list[idx] for idx in range(len(lst)) if lst[idx] != 0]登入後複製
递归实现时，不需要使用全局栈，只需要获到当前节点的相邻节点便可。
以上是Python怎麼實現圖的廣度與深度優先路徑搜尋演算法的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！
