EM演算法是一種統計學習中常用的演算法，在各種領域中都有廣泛的應用。 Python作為一門優秀的程式語言，在實作EM演算法時具有很大的優勢，本文將會對Python中的EM演算法進行詳細的介紹。
首先，我們要了解什麼是EM演算法。 EM演算法全稱為Expectation-Maximization Algorithm，是一種迭代演算法，常用於解決含有隱變數或缺失資料的參數估計問題。 EM演算法的基本思想是透過不斷估計無法觀測到的隱變量或缺失數據，迭代求解參數的最大似然估計。
在Python中實現EM演算法，可以透過分為以下四個步驟：
E步驟透過對觀測資料與當前參數的估計計算隱變數的機率分佈。本質上，這個步驟的任務就是將樣本資料分類，將觀測資料進行聚類，得到隱性變數的後驗分佈。在實際操作中，可以藉助一些聚類演算法，如K-means演算法，GMM等。
M步驟的任務是透過E步驟層級的分類，來重新估計參數。此時，我們只需要在每個類別的資料分佈中計算參數的最大似然估計，並重新更新參數。這個過程可以用一些最佳化演算法，如梯度下降及共軛梯度演算法來實現。
接下來，我們需要重複執行步驟1、2，直到參數收斂，得到滿足最大似然估計的參數。這個過程就是EM演算法中的迭代求解步驟。
最後，我們需要計算似然函數值。透過不斷執行EM演算法，更新參數，使得參數估計最大化似然函數。此時，我們可以固定參數，在目前的資料集上計算似然函數值，並將其作為最佳化的目標函數。
透過以上四個步驟得出，我們就可以在Python中實作EM演算法。
程式碼如下：
import numpy as np
import math
class EM:
def __init__(self, X, k, max_iter=100, eps=1e-6):
self.X = X
self.k = k
self.max_iter = max_iter
self.eps = eps
def fit(self):
n, d = self.X.shape
# 随机初始化分布概率和均值与协方差矩阵
weight = np.random.random(self.k)
weight = weight / weight.sum()
mean = np.random.rand(self.k, d)
cov = np.array([np.eye(d)] * self.k)
llh = 1e-10
previous_llh = 0
for i in range(self.max_iter):
if abs(llh - previous_llh) < self.eps:
break
previous_llh = llh
# 计算隐变量的后验概率，即E步骤
gamma = np.zeros((n, self.k))
for j in range(self.k):
gamma[:,j] = weight[j] * self.__normal_dist(self.X, mean[j], cov[j])
gamma = gamma / gamma.sum(axis=1, keepdims=True)
# 更新参数，即M步骤
Nk = gamma.sum(axis=0)
weight = Nk / n
mean = gamma.T @ self.X / Nk.reshape(-1, 1)
for j in range(self.k):
x_mu = self.X - mean[j]
gamma_diag = np.diag(gamma[:,j])
cov[j] = x_mu.T @ gamma_diag @ x_mu / Nk[j]
# 计算似然函数值，即求解优化目标函数
llh = np.log(gamma @ weight).sum()
return gamma
def __normal_dist(self, x, mu, cov):
n = x.shape[1]
det = np.linalg.det(cov)
inv = np.linalg.inv(cov)
norm_const = 1.0 / (math.pow((2*np.pi),float(n)/2) * math.pow(det,1.0/2))
x_mu = x - mu
exp_val = math.exp(-0.5 * (x_mu @ inv @ x_mu.T).diagonal())
return norm_const * exp_val其中，
X：觀測資料
k：類別數
max_iter：最大迭代步數
eps：收斂閾值
fit()函數：進行參數估計
__normal_dist(): 計算多元高斯分佈函數
透過上述程式碼實現，我們可以在Python中輕鬆實作EM演算法。
在此之上，EM演算法也應用於各種統計學習中的問題，如文字聚類、圖像分割、半監督學習等等。它的靈活性和廣泛性成為了統計學習中經典的演算法之一。尤其針對缺失資料、雜訊資料等問題，EM演算法可以透過對隱變數進行估計來處理，提高了演算法的穩健性。
總之，Python在統計學習的應用越來越廣泛，應該更重視這些經典演算法的程式碼實作、模型訓練。 EM演算法作為重要的演算法之一，在Python中也有很好的最佳化實作。不論對於學習Python或統計學習建模，掌握EM演算法的實作都是亟需之舉。
以上是Python中的EM演算法詳解的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！
