子集相等性是NP完全的-C++-PHP中文網

子集相等性是NP完全的

子集對應，也稱為「子集總計」問題，是示例性的 NP 完全計算問題。給定一堆數字和一個客觀價值，任務是確定是否存在其總數等於客觀價值的數字子集。這個問題的 NP 頂峰源於其透過多項式時間遞減來解決各種其他 NP 完全問題的能力。不管其簡單的定義如何，沒有一種有效的計算可以解決所有事件的“子集對應”，這使得它在假設的軟體工程和簡化中具有重要意義，並且在不同領域（如密碼學、資產分配和動態問題）具有功能應用。

使用的方法

子集總和的減少
從 3SAT 減少

從子集總和減少

處理「子集公平性」是 NP 完成問題的一種方法是顯示顯著的 NP 完成問題（「子集總數」問題）的減少。

演算法

給定一個「子集聚合」問題的案例，它是一堆整數 S 和一個價值 T 的目標。
使用類似的集合 S 和目標自尊 2T 來製作另一個「子集權益」問題的案例。
如果在「子集聚合」問題中存在S 的子集匯總為T，那麼此時，「子集均勻性」問題中將存在一個匯總為T 的子集2T 透過添加與其自身相似的子集。
假設在「子集總計」問題中不存在S 的子集匯總為T，那麼在「子集公平性」問題中也不存在匯總為2T 的子集，因為任何具有總計的子集低於2T的與其自身相加不能超過2T。
這種下降表明解決「子集公平性」問題與解決「子集聚合」問題幾乎一樣困難，使其成為 NP 完全問題。

範例

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
 
bool isSubsetSum(vector<int>& set, int n, int sum) {
   if (sum == 0) return true;
   if (n == 0) return false;
 
   if (set[n - 1] > sum) return isSubsetSum(set, n - 1, sum);
 
   return isSubsetSum(set, n - 1, sum) || isSubsetSum(set, n - 1, sum - set[n - 1]);
}
 
bool isSubsetAggregateReduction(vector<int>& set, int n, int sum) {
   return !isSubsetSum(set, n, sum) && !isSubsetSum(set, n, 2 * sum);
}
 
int main() {
   vector<int> set = {3, 34, 4, 12, 5, 2};
   int sum = 18; 
   if (isSubsetAggregateReduction(set, set.size(), sum)) {
      cout << "No subset exists in Subset Aggregate issue that sums to " << sum << " and no subset exists that sums to " << 2 * sum << " by adding the same subset with itself." << endl;
   } else {
      cout << "There exists a subset in Subset Aggregate issue that sums to " << sum << " or a subset in Subset Equity issue that sums to " << 2 * sum << " by adding the same subset with itself." << endl;
   }
 
   return 0;
}

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輸出

1	`There exists a subset in Subset Aggregate issue that sums to 18` `or` `a subset in Subset Equity issue that sums to 36 by adding the same subset with itself.`

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從 3SAT 減少

另一種方法是透過直接從一個已知的 NP 完全問題（例如 3SAT 問題）中減去它來證明「子集對應」是 NP 完成的。

演算法

給出了 3SAT 問題的範例，其中包含一個聯合普通結構中的布林配方，每個條件有三個文字。
用一堆整數和目標值再討論一下「子集均勻性」問題，如下：

a.對於 3SAT 方程中的每個變量，在集合中建立一個值為 1 的數字。

b.對於 3SAT 方程中的每個附加條件，在集合中產生一個值為 2 的數字。

c.將目標值設定為 3SAT 配方中的全部附加條件和所有因素的全部數量。

如果 3SAT 方案可滿足，則「子集均勻性」問題中存在一個子集，該子集透過為每個已滿足的條件選擇一個變數來總結目標值。
如果3SAT 配方無法滿足，那麼「子集對應」問題中就沒有子集可以概括為目標值，因為任何合法子集都必須包含不少於一個值為2 的整數，與已履行的條款相關。
由於已知 3SAT 問題是 NP 完成的，因此這種下降表明「子集股權」的 NP 頂峰。

範例

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
 
bool ThreeSAT_Satisfiable(const vector<vector<int>>& clauses) {
   return false;
}
 
class SubsetUniformity {
private:
   vector<int> numbers;
   int targetValue;
 
public:
   SubsetUniformity(const vector<int>& vars, const vector<int>& clauses) {
      for (int v : vars) {
         numbers.push_back(1);
      }
      for (int c : clauses) {
         numbers.push_back(2);
      }
      targetValue = vars.size() + clauses.size();
   }
 
   bool isSubsetSumPossible(int idx, int sum) {
      if (sum == targetValue) {
         return true;
      }
      if (idx >= numbers.size() || sum > targetValue) {
         return false;
      }
      return isSubsetSumPossible(idx + 1, sum) || isSubsetSumPossible(idx + 1, sum + numbers[idx]);
   }
 
   bool hasSolution() {
      return isSubsetSumPossible(0, 0);
   }
};
 
int main() {
   vector<vector<int>> clauses = {
      {1, 2, -3},
      {-1, -2, 3},
      {-1, 2, 3}
   };
 
   bool isSatisfiable = ThreeSAT_Satisfiable(clauses);
   SubsetUniformity su(clauses[0], clauses[1]);
 
   cout << "3SAT Formula is " << (isSatisfiable ? "satisfiable." : "not satisfiable.") << endl;
   cout << "Subset Uniformity has " << (su.hasSolution() ? "a" : "no") << " solution." << endl;
 
   return 0;
}