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檢查是否可能從原點到達給定圓的周長上的任意點

王林

發布： 2023-08-29 21:13:12

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檢查是否可能從原點到達給定圓的周長上的任意點

圓的周長可以定義為圓的外邊界。它是圓的周長。圓周圍的每個點都遵循某些屬性，如下所示 -

點 (x,y) 位於圓內，使得 $\mathrm{x^2 y^2
點 (x,y) 位於圓上，使得 $\mathrm{x^2 y^2 = R^2}$
點 (x,y) 位於圓外，使得 $\mathrm{x^2 y^2 > R^2}$

其中 R = 圓的半徑。

問題陳述

給定一個表示一系列移動（L、R、U、D）的字串 S 和一個表示圓半徑的整數 R。檢查是否可以透過選擇從S開始的任何移動子序列來到達以原點為半徑為R的圓的圓週上的任何點。每個移動的操作如下所示，

L = 減少 x 座標
R = 增量 x 座標
U = y 座標增量
D = 遞減 y 座標

範例 1

輸入

S = “RURDLR”
R = 2

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Yes

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說明

選擇子序列「RR」 -

最初，(0, 0) R -> (1, 0) R -> (2, 0)。

週長可能為 2² 02 = 4 = R²

範例 2

輸入

S = “UUUUU”
R = 6

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No

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說明

選擇最大的子序列「UUUU」 -

最初，(0, 0) U -> (0, 1) U -> (0, 2) U -> (0, 3) U -> (0, 4) U -> (0, 5) 。

不可能達到圓週，因為 0² 5² = 25 R²

#方法 1：暴力破解

問題的解決方法是找到字串S的所有可能的子序列，然後檢查每個子序列是否可以到達圓週。透過維護 x 和 y 的計數器來檢查這些條件，其中 x 在每個 L 上遞減並在每個 R 上遞增。類似地，y 在每個 D 上遞減並在每個 U 上遞增。然後檢查 x² y² = R² 檢查終點是否在圓週上。

虛擬程式碼

procedure subsequence (S, sub, vec):
   if S is empty
      add sub to vec
      return
   end if
   subsequence(S.substring(1), sub + S[0], vec)
   subsequence(S.substring(1), sub, vec)
end procedure

procedure checkSeq (S, R)
   x = 0
   y = 0
   for move in S do
      if move == 'L' then
         x = x - 1
      else if move == 'R' then
         x = x + 1
      else if move == 'U' then
         y = y + 1
      else if move == 'D' then
         y = y - 1
      end if
      if x^2 + y^2 = R^2 then
         return true
      end if
   end for
   return false
end procedure

procedure reachCircumference (S, R):
   v = []      
   subsequence(S, "", v)
   for str in v:
      if checkSeq(str, R)
      return "yes"
      end if
   return "no"
end procedure

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範例：C 實作

在下面的程式中，建立字串 S 的所有可能的子序列，並檢查它們是否到達圓的圓週。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to create all the possible subsequence of string S
void subsequence(string S, string sub, vector<string> &vec){

   // Base Case
   if (S.empty()) {
      vec.push_back(sub);
      return;
   }
   
   // Subsequence including the character
   subsequence(S.substr(1), sub + S[0], vec);
   
   // Subsequence excluding the character
   subsequence(S.substr(1), sub, vec);
}

// Function to check if a given sequence of steps lead to the circumference of the circle with radius R
bool checkSeq(string S, int R){

   // Initialising centre of circle as (0, 0)
   int x = 0, y = 0;
   for (char move : S) {
      if (move == 'L') {
         x -= 1;
      } else if (move == 'R') {
         x += 1;
      } else if (move == 'U') {
         y += 1;
      } else if (move == 'D') {
         y -= 1;
      }
      
      // Check to find if (x, y) lie on circumference using the circle equation
      if (x*x + y*y == R*R) {
         return true;
      }
   }
   return false;
}

// function to check if any subsequence of string S leads to any point on the circumference of the circle
string reachCircumference(string S, int R){
   vector <string> v;
   string sub = "";
   
   // Storing all subsequence in vector v
   subsequence(S, sub, v);
   
   // Checking the condition for each subsequence
   for (auto str: v) {
      if(checkSeq(str, R)) {
         return "yes";
         break;
      }
   }
   return "no";
}

// Driver Code
int main(){
   string S = "RURDLR";
   int R = 2;
   cout << reachCircumference(S, R) << endl;
   return 0;
}

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輸出

yes

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方法2：最佳化方法

解決這個問題的一個有效方法是檢查使用（L、R、U 或 D）的任一對 x 和 y 的 x 和 y 的平方和是否等於半徑的平方。

首先，我們計算每個步驟的最大出現次數，並檢查是否有任何一個等於 R。如果不相等，則我們檢查是否有任何數量的 L 或 R 以及 U 或 D 的對可以導致等於 R 的距離起源。

虛擬程式碼

procedure reachCircumference (S, R)
   cL = 0
   cR = 0
   cD = 0
   cU = 0
   for move in S do
if move == 'L' then
x = x - 1
else if move == 'R' then
x = x + 1
else if move == 'U' then
y = y + 1
else if move == 'D' then
y = y - 1
end if
if x^2 + y^2 = R^2 then
return true
end if
end for
   if max(max(cL, cR), max(cD, cU)) >= R
      return “yes”
   maxLR = max(cL, cR)
maxUD = max(cU, cD)
Initialise unordered map mp
sq = R * R
for i = 1 till i * i = sq
   if sq - i*i is not in the map
      if maxLR>= mp[sq - i * i] and maxUD >= i
         return “yes”
      end if
      if maxLR >= i && maxUD >= mp[sq - i * i]
         return “yes”
      end if
   end if
end for
return “no”
end procedure

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下面是 C 實現，

在下面的程式中，我們使用映射來檢查是否存在通往圓週長的子序列。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to check if any subsequence of string S leads to any point on the circumference of the circle
string reachCircumference (string S, int R){

   // Counting total occurrenceof each L, R, U, D
   int cL = 0, cR = 0, cD = 0, cU = 0;
   for (char move : S) {
      if (move == 'L') {
         cL++;
      } else if (move == 'R') {
         cR++;
      } else if (move == 'U') {
         cU++;
      } else if (move == 'D') {
         cD++;
      }
   }
   
   // Checking for a path to circumference using only one type of move
   if (max(max(cL, cR), max(cD, cU)) >= R) {
      return "yes";
   }
   int maxLR = max(cL, cR), maxUD = max(cU, cD);
   unordered_map<int, int> mp;
   int sq = R * R;
   for (int i = 1; i * i <= sq; i++) {
      mp[i * i] = i;
      if (mp.find(sq - i * i) != mp.end()) {
      
         // Checking if it is possible to reach (± mp[r_square - i*i], ± i)
         if (maxLR>= mp[sq - i * i] && maxUD >= i)
            return "yes";
            
         // Checking if it is possible to reach (±i, ±mp[r_square-i*i])
         if (maxLR >= i && maxUD >= mp[sq - i * i])
            return "yes";
      }
   }
   return "no";
}

// Driver Code
int main(){
   string S = "RURDLR";
   int R = 5;
   cout << reachCircumference(S, R) << endl;
   return 0;
}

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