回文自拍數

如果一個數字可以只使用自己的數字和某些數學運算來表示，則該數字被視為「自拍數字」。

例如，936是一個自拍號碼。

$$\mathrm{936\:=\:(\sqrt{9})!^{3}\: \:6!\:=\:216\: \:720\:=\:第936章

這裡可以看到，原數的數字做了一系列運算，結果與原數相等。

回文自拍號碼是一種特殊的自拍號碼。他們符合自拍乘法規則。

• 考慮一個數字 x。

• 設 x 的數字反轉後的數為 $\mathrm{x^\prime}$。

• 令 y 為由 x 的數字以不同順序組成的數字。

• 設 y 的數字反轉後的數為 $\mathrm{y^\prime}$。

回文自拍數滿足以下方程式 -

$$\mathrm{x\:×\:x^\prime\:=\:y\:×\:y^\prime}$$

#問題陳述

對於給定的數字x，依照自拍乘法法則求其回文自拍數。

範例

Input: 1224
Output: 2142

說明 -

給定 x = 1224

所以 $\mathrm{x^\prime}$ = 4221 是將 x 的數字反轉得到

令 y = 2142。 y 是使用 x 的數字以不同順序形成的

所以 $\mathrm{y^\prime}$ = 2412 是將 y 的數字反轉得到的

$\mathrm{x\:×\:x^\prime}$ = 1224 × 4221 = 5166504 且$\mathrm{y\:×\:y^\prime}$ = 2142 × 2412 = 5166504

Sincex× x' = y × y'，y為x的回文自拍數。

Input 4669:
Output: 6496

說明 -

給定 x = 4669

所以 $\mathrm{x^\prime}$ = 9664 是將 x 的數字反轉得到

令 y = 6496。 y 是使用 x 的數字以不同順序形成的

所以 $\mathrm{y^\prime}$ = 6946 是將 y 的數字反轉得到的

$\mathrm{x\:×\:x^\prime}$ = 4669 × 9664 = 45121216 且$\mathrm{y\:×\:y^\prime}$ = 6496× 6946= 45121216

由於 x× x' = y × y'，y 是 x 的回文自拍數。

Input: 456
Output: No palindromic selfie number exists

說明 -

給定 x = 456

所以 $\mathrm{x^\prime}$ = 654 是透過將 x 的數字反轉得到的

令 y = 546。 y 是使用 x 的數字以不同順序形成的

所以 $\mathrm{y^\prime}$ = 645 是將 y 的數字反轉得到的

$\mathrm{x\:×\:x^\prime}$ = 456 × 654 = 298224 和$\mathrm{y\:×\:y^\prime}$ = 546× 645= 352170

由於 $\mathrm{x\:×\:x^\prime}$ ≠ $\mathrm{y\:×\:y^\prime}$，因此 y 不是 x 的回文自拍照數。

沒有其他 456 的排列也符合自拍乘法規則。

解決方案

找到給定數字的回文自拍照數字的解決方法相當直觀且易於理解。

該方法包括以下步驟 -

• 定義一個「反向」函數

• 接受一個整數作為輸入

• 將其轉換為字串

• #反轉字串

• #將其轉換回整數。

• 定義一個函數「Swap」

• 採用整數 i 和 j 作為輸入

• 將整數轉換為字串

• 交換字串中的第 i 個和第 j 個字元

• #將字串轉換回整數。

• 定義一個函數「置換」

• 採用整數、l、r 和一組「排列」作為輸入。

• 它遞歸地產生整數數字的所有可能排列

• #它將它們儲存在「排列」集中。

• 定義一個函數「palindromic_selfie」

• #採用整數「num」和一組「permutations」作為輸入。

• 它使用「permute」函數產生整數「num」的所有可能的排列

• #然後，它透過將數字及其逆序的乘積與排列及其逆序的乘積進行比較，檢查這些排列中的任何一個是否滿足回文自拍屬性。

• 如果找到這樣的排列，則傳回該數字。否則，返回-1。

• 在主函數中，設定一個數字「n」和一個用於儲存排列的空集合。

• 使用「n」和空集合呼叫「palindromic_selfie」函數，並儲存回傳結果。

• 如果傳回結果為-1，則列印「不存在回文自拍數」。否則，列印返回結果。

範例：C 程式

以下 C 程式尋找給定整數的回文自拍編號（如果存在）並傳回它。它透過使用 permute() 函數找到給定數字的所有可能的排列，然後使用 reverse() 函數確定給定數字和該數字的任何排列是否滿足 palindrome_selfie() 函數中的自拍乘法規則來實現此目的。如果不存在這樣的數字，則會列印「No Palindrome Selfie Number Exists」。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to reverse the digits of a number
int reverse(int num){
   
   // converting number to string
   string str = to_string(num);
   reverse(str.begin(), str.end());
   
   // converting string to integer
   num = stoi(str);
   return num;
}

// Function that Swaps the digits i and j in the num
int Swap(int num, int i, int j){
   char temp;
   
   // converting number to string
   string s = to_string(num);
   
   // Swap the ith and jth character
   temp = s[i];
   s[i] = s[j];
   s[j] = temp;
   
   // Convert the string back to int and return
   return stoi(s);
}

// Function to get all possible permutations of the digits in num
void permute(int num, int l, int r, set<int> &permutations){
   
   // Adds the new permutation obtained in the set
   if (l == r)
      permutations.insert(num);
   else{
      for (int i = l; i <= r; i++){
         
         // Swap digits to get a different ordering
         int num_copy = Swap(num, l, i);
         
         // Recurse to next pair of digits
         permute(num_copy, l + 1, r, permutations);
      }
   }
}

// Function to check for palindrome selfie number
int palindromic_selfie(int num, set<int>& permutations) {
   
   // Length of the number required for calculating all permutations of the digits
   int l = to_string(num).length() - 1;
   permute(num, 0, l, permutations); // Calculate all permutations
   
   //Remove the number and its reverse from the obtained set as this is the LHS of multiplicative equation
   auto n1 = permutations.find(reverse(num));
   auto n2 = permutations.find(num);
   if (n1 != permutations.end())
      permutations.erase(n1);
   if (n2 != permutations.end())
      permutations.erase(n2);
   
   // Go through all other permutations of the number
   for (set<int>::iterator it = permutations.begin(); it != permutations.end(); it++) {
      int num2 = *it;
      
      // Check if selfie multiplicative rule holds i.e. x * reverse(x) = y * reverse(y)
      if (num * reverse(num) == num2 * reverse(num2)) {
         return num2;
      }
   }
   
   // If no such number found
   return -1;
}
int main(){
   int n = 1234;
   cout << "n: " << n << endl;
   set<int> permutations;
   int ans = palindromic_selfie(n, permutations);
   if (ans == -1) {
      cout << "No Palindromic Selfie Number Exists" << endl;
   }
   else{
      cout << ans << endl;
   }
   return 0;
}

输出

n: 1234
No Palindromic Selfie Number Exists

时间和空间复杂度分析

时间复杂度：O(n!)

此代码的时间复杂度为 O(n!)，其中 n 是输入数字的位数。这是因为有 n! n 位数字的排列，并且 permute() 方法生成数字的所有潜在排列。

空间复杂度：O(n!)

由于集合“排列”包含所有可能的数字组合，等于 n!，因此该代码的空间复杂度为 O(n!)。 verse() 和 Swap() 函数的空间复杂度为 O(n)，因为它们还生成长度为 n 的临时字符串。空间复杂度为 O(n!) 的排列集合主导了整个代码的空间复杂度。

结论

回文自拍數是数学中一个有趣的概念。它们满足自拍乘法方程。本文讨论了一种方法来查找一个数字是否具有回文自拍号码，如果是，则返回它。对问题的概念、解决方法、C++程序以及程序的时间和空间复杂度进行了深入分析。

以上是回文自拍數的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！