兩兩乘積之和
集合X = {a, b, c}的成對乘積可以定義為所有可能的集合對乘積的和。集合的成對為Y = {a * a, a * b, a *c, b * b, b * c, c * c},其中乘積是可交換的。因此,集合X的成對乘積是集合Y的元素總和,即aa ab ac bb bc cc。
在數學術語中,可能的配對乘積的總和可以表示為:
$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i=1,j=i}^{i\leq n,j\leq n}\:(i,j)=i\time j}$$
問題陳述
給定一個數字n。在範圍(1,n)內,包括n和1,找到成對乘積的總和。
範例範例1
Input: n = 4
Output: 65
Explanation
的中文翻譯為:解釋
i的範圍從1到4,j的範圍從i到4。
1*1 1*2 1*3 1*4 2*2 2*3 2*4 3*3 3*4 4*4 = 1 2 3 4 4 6 8 9 12 16 = 65
範例範例2
Input: n = 10
Output: 1705
Explanation
的中文翻譯為:解釋
i的範圍從1到10,j的範圍從i到10。
1*1 1*2 … 1*10 2*2 2*3 … 2*10 3*3 3*4 … 3*10 4*4 4 *5 … 4*10 5*5 5*6 … 5*10 6*6 6*7 … 6*10 7*7 7*8 … 7*10 8* 8 8*9 8*10 9*9 9*10 10*10 = 1705
方法一:暴力破解方法
解決這個問題的蠻力解法是使用兩個for循環迭代範圍內的所有可能的數對,其中第一個循環從1到n迭代,第二個循環從第一個數迭代到n。
虛擬程式碼
procedure pairwiseProduct (n) sum = 0 for i = 1 to n for j = i to n sum = sum + (i * j) end procedure
範例:C 實作
在以下程式中,我們找到所有可能的配對,然後找到乘積的和。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){ unsigned long long sum = 0; // First number: 1 <= i <= n for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){ // Second number: i <= j <= n for (unsigned int j = i; j <= n; j++){ sum += i * j; } } return sum; } int main(){ unsigned long long n = 9; cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n); return 0; }
輸出
Pairwise Product = 1155
時間複雜度 - O(n^2)
空間複雜度 - O(1)
方法二
以n = 4為例,
I = 1*1 1*2 1*3 1*4 2*2 2*3 2*4 3*3 3*4 4*4
在簡化上述內容時,
I = 1*1 (1 2)*2 (1 2 3)*3 (1 2 3 4)*4
取prefix_sum[1] = 1,
前綴總和[2] = 1 2,
前綴總和[3] = 1 2 3,
前綴總和[2] = 1 2,
虛擬程式碼
procedure pairwiseProduct (n) sum = 0 prefixSum = 0 for i = 1 to n prefixSum = prefixSum + 1 sum = sum + i * prefixSum end procedure
範例:C 實作
在下面的程式中,我們找到每次迭代的和,即前綴和,並乘以迭代次數,然後在每一步中加到最終和中。
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; // Function to find pairwise product over the range 1 to n, 1 and n inclusive unsigned long long pairwiseProduct(unsigned int n){ unsigned long long sum = 0; unsigned long long prefixSum = 0; for (unsigned int i = 1; i <= n; i++){ prefixSum += i; sum += i * prefixSum; } return sum; } int main(){ unsigned long long n = 9; cout << "Pairwise Product = " << pairwiseProduct(n); return 0; }
輸出
Pairwise Product = 1155
結論
總之,對於在範圍1到n內的數字的兩兩乘積之和的求解,我們可以採用上述兩種方法之一,其中第一種方法是暴力法,時間複雜度為O(n^ 2),第二種方法是使用前綴和來計算兩兩乘積總和的最佳化方法,時間複雜度為O(n)。
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