製作莫比烏斯環，最少需要多長紙帶？ 50年來的謎題被解開了

自己動手做過莫比烏斯帶嗎？

莫比烏斯帶是一種奇特的數學結構。要構造一個這樣美麗的單面曲面其實非常簡單，即使是小孩也可以輕鬆完成。你只需要取一張紙帶，扭曲一次，然後將兩端黏在一起。然而，這樣容易製作的莫比烏斯帶卻有著複雜的性質，長期吸引著數學家們的興趣。

最近，研究人員一直被一個看似簡單的問題困擾著，那就是關於製作莫比烏斯帶所需紙帶的最短長度？布朗大學 Richard Evan Schwartz 談到，對於莫比烏斯帶來說，這個問題沒有解決，因為它們是「嵌入的」而不是「浸入的」，這意味著它們不會相互滲透或自我相交。莫比烏斯帶實際上是一個全息圖，一種投影到三維空間的圖形：對於“浸入的”的莫比烏斯帶，多層帶可以彼此重疊，有點像幽靈穿過牆壁；對於“嵌入的”的而言，沒有這樣的重疊。

1977 年，數學家Charles Sidney Weaver 和Benjamin Rigler Halpern 提出了這個關於最小尺寸的問題，並指出如果允許莫比烏斯帶自相交，那麼這個問題就簡單了。那麼，剩下的問題就是要確定需要多少空間來避免自交。 Halpern 和 Weaver 曾提出了一個最小尺寸，但他們無法證明這個想法，因此被稱為 Halpern-Weaver 猜想。

Schwartz 在四年前首次了解到這個問題，在得知後就被這個問題深深吸引住。現在，他的興趣已經變成新的成果了。

論文網址：https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf

他在2023 年8 月24 日發佈在arXiv.org 上的一份預印本論文中證明了Halpern-Weaver 猜想。他證明了用紙製成的「嵌入的」莫比烏斯帶只能以大於的縱橫比構造出來。例如，如果帶子長度為 1 厘米，它的寬度必須大於厘米。

解決這個難題需要數學創意。當人們採用標準方法來解決這類問題時，很難透過公式來區分自相交和非自相交的曲面。具備 Schwartz 的幾何視覺才能夠克服這個困難，但這是很少見的。

在 Schwartz 的證明中，他設法將問題分解為可以處理的部分，每個部分基本上只需要基本幾何知識來解決。

其實，在找到成功的策略之前，Schwartz 在幾年裡斷斷續續地嘗試了其他策略。他最近決定重新審視這個問題，因為他一直覺得他在 2021 年的一篇論文中使用的方法應該是有效的。

 

顯然，他的直覺是正確的。當他重新研究這個問題時，他注意到在先前的論文中涉及 T 型圖的引理中存在一個錯誤。透過糾正這個錯誤，Schwartz 迅速而輕鬆地證明了 Halpern-Weaver 猜想。 Schwartz 自己也說，如果不是因為那個錯誤，他三年前就能解決了這個問題。

                                       #在本證明中，T 型圖引理是關鍵。這個引理是基於一個基本的想法：莫比烏斯帶上有些直線被稱為直紋曲面。 Schwartz 指出在空間中的紙帶，即使它在某些複雜的位置，在每個點上仍然都有一條直線穿過它，你可以想像畫這些直線，讓它們橫穿莫比烏斯帶並在兩端觸及邊界。

在先前的工作中，Schwartz 確定了兩條互相平行並且在同一個平面上的直線，它們在每個莫比烏斯帶上形成了一個T 型圖案。他指出，這些東西存在並不明顯，需要證明它們存在，這也是證明引理的第一部分。

下一步是建立並解決最佳化問題，需要沿著帶寬度延伸的線段以一個角度切開一個莫比烏斯帶，並得到最終的形狀。 Schwartz 在 2021 年的論文中錯誤地得出了這個形狀是平行四邊形的結論。

今年夏天，Schwartz 決定嘗試不同的策略。他開始嘗試把莫比烏斯帶壓扁。如果能夠證明可以將它們壓成平面，這個複雜的問題將簡化為一個更容易處理的平面問題。在實驗中，Schwartz 切開了一個莫比烏斯帶，並意識到它不是平行四邊形，而是一個梯形。

最終，這個 50 年來的問題得到了解答。試著解決一個長期未解決的問題是需要勇氣的，而這正是 Schwartz 在數學上的優勢：他喜歡研究那些看起來相對容易但其實很難的問題。他會看到以前研究者沒有註意到的問題。

^{參考連結：https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-50-year- old-moebius-strip-puzzle1/}

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