使用函數分析方法
函數解析式的法
①拼湊發:對於形如f[g(x)]的函數解析式,將g(x)看成整體,將表達式是右邊拼湊出g(x)的形式,再把g(x)替換成x,就ok,例如:
f(2x 1)=4x^2 2x 1,f(x):
右邊=(2x 1)^2-(2x 1) 1
∴f(x)=x^2-x 1
②換元法:對於形如f[g(x)]的函數解析式,令t=g(x),x就可以用t來表示,而且要注意定義域相等,出f(t )就ok,例如:
f[(1-x)/(1 x)]=[(1-x^2)/(1 x^2)],f(x):
令t=(1-x)/(1 x)
則:x=(1-t)/(1 t)(注意:t≠-1)
∴代入得:
f(t)=2t/(t^2 1) (t≠-1)
即:f(x)=2x/(x^2 1) (x≠-1)
③構造法:利用已給定的關係式,可改變關係式中的變量,得到一個新的關係式,透過解方程組,出函數f(x)的解析式,例如:
設f(x)是定義域在(0,﹢無窮)上的一個函數,且有f(x)=2f(1/x)√x-1(√為根號)f(x) :(目標是消去f(1/x))
令x=1/x,得:
f(1/x)=2f(x)√(1/x)-1
將其代入原方程式得:
f(x)=2[2f(x)√(1/x)-1]√x-1=4f(x)-2√x-1
∴f(x)=(2√x)/3 1/3
還有待定係數法,你還要我說嗎?好累~~~~~
函數解析式
一.換元法:已知f(g(x)),f(x)的解析式,一般的可用換元法,具體為:令t=g(x),在出f(t )可得f(x)的解析式。換元後要確定新元t的值範圍。
例題1.已知f(3x 1)=4x 3, f(x)的解析式.
練習1.若 , .
二.配湊法:把形如f(g(x))內的g(x)當做整體,在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式,再把g(x)用x代替。一般的利用完全平方公式。
例題2.已知 , 的解析式.
練習2.若 , .
三.待定係數法:已知函數模型(如:一次函數,二次函數,指數函數等)解析式,先設出函數解析式,依已知條件代入係數
例題3.設 為一元二次函數, ,且 ,
與 .
練習3.設二次函數 滿足 ,且圖像在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長為 , 的表達式.
四.解方程組法:抽象函數的解析式,往往透過變換變數建構一個方程,組成方程組,利用消元法f(x)的解析式
例題4.設函數 是定義(-∞,0)∪(0, ∞)在上的函數,且滿足關係式 , 的解析式.
練習4.若 , .
五.利用給定的特性解析式:一般為已知x>0時, f(x)的解析式,x
例題5設 是偶函數,當x>0時, ,當x
練習6.對x∈R, 滿足 ,且當x∈[-1,0]時,當x∈[9,10] 時 的表達式.
六.歸納遞推法:利用已知的遞推公式,寫出若干幾項,利用數列的思想從中找出規律,得到f(x)的解析式。 (通項公式)
例題6.設 是定義在 上的函數,且 , , 的解析式.
有時證明需要用數學歸納發去證明結論。
練習5.若 ,且 ,
值 .
題7.設 ,記 , .
七.相關點法:一般的,設出兩個點,一點已知,一點未知,根據已知找到兩點之間的聯繫,把已知點用未知點表示,最後代入已知點的解析式整理出即可。 (軌跡法)
例題7:已知函數y=f(x)的圖像與y=x2 x的圖像關於點(-2,3)對稱,f(x)的解析式。
練習8.已知函數,當點P(x,y)在y= 的圖像上運動時,點Q( )在y=g(x)的圖像上,函數g(x).
八.特殊值法:一般的,已知一個關於x,y的抽象函數,利用特殊值去掉一個未知數y,得到關於x的解析式。
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