等價無窮小替換
∵ln(1 x)~x
#∴ln[e^sinx ³√（1-cosx）]=ln[1 e^sinx ³√（1-cosx）-1]~e^sinx ³√（1-cosx）-1
∵arctanx~x
#∴arctan[2³√（1-cosx）]~2³√（1-cosx）
∴原式=（1/2）lim(x→0) [e^sinx ³√（1-cosx）-1]/³√（1-cosx）
=(1/2){lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx） lim(x→0)³√（1-cosx）/³√（1- cosx）}
=1/2 (1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）
再用等價無窮小替換
∵e^x-1~x
#∴e^sinx-1~sinx~x
1-cosx~x²/2
∴原式=1/2 (1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）
=1/2 (1/2)lim(x→0) x/³√（x²/2）
=1/2 (1/2)lim(x→0) ³√（2x）
=1/2
題主的做法主要存在兩點問題：
1、quad函數用於計算數值積分，函數表達式中不能包含符號量；
2、被積函數的表達式應該寫成關於被積變數的向量化的形式（也就是應該用點運算）。
參考程式碼：
R=1;
syms L;
rr = 0 : 0.1 : 1;
for ii = 1 : length(rr)
r = rr(ii);
f = @(l)(acos((1 l*l-r*r)/(2*l)) r*r*acos((r*r l*l-1)/(2*r*l) )-0.5*sqrt(4*r*r-(1 r*r-l*l)^2))*2*l/(pi*r^4);
fun = @(L) arrayfun(f,L);
J(ii) = quadl(fun,0,r);
end
plot(rr, J)
或也可以藉用樓上 楓簫1 的部分程式碼，寫成：
R=1;
syms L;
rr = 0 : 0.1 : 1;
for ii = 1 : length(rr)
r = rr(ii);
SOA=R^2*acos((R^2 L^2-r^2)/(2*R*L)) r^2*acos((r^2 L^2-R^2) /(2*r*L))-...
0.5*sqrt(4*R^2*r^2-(R^2 r^2-L^2)^2);
PAB=SOA/(pi*r^2);
p=2*L/r^2;
f=PAB*p;
fun = eval(['@(L)' vectorize(f)]);
fun = @(l) arrayfun(@(L)eval(f),l);
J(ii) = quadl(fun,0,r);
end
plot(rr, J)
以上程式碼雖可以運行，但被積函數有問題－SOA的第一個反餘弦的值可能出現複數（因為在r稍小的情況下，acos的參數大於1），請題主再仔細檢查一下。
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