詳解一道關於反三角函數的定積分題
一道反三角函數的定積分題目麻煩詳細過程
∫ (arcsinx)² dx
= x(arcsinx)² - ∫ x d(arcsinx)²
= x(arcsinx)² - ∫ x • 2(arcsinx) • 1/√(1 - x²) • dx
= x(arcsinx)² - 2∫ x(arcsinx)/√(1 - x²) dx
= x(arcsinx)² - 2∫ arcsinx d[-√(1 - x²)]
= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²) d(arcsinx)
= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2∫ √(1 - x²)/√(1 - x²) dx
= x(arcsinx)² 2(arcsinx)√(1 - x²) - 2x C
這是不定積分
定積分就代入就有了
反三角函數的原始函數
用分部積分法得:
I = ∫ arcsinx dx = x arcsinx - ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arcsinx (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2) = x arcsinx √(1-x^2) C
I = ∫ arccosx dx = x arccosx ∫ [x/√(1-x^2)] dx
= x arccosx - (1/2) ∫ [1/√(1-x^2)] d(1-x^2) = x arccosx - √(1-x^2) C
I = ∫ arctanx dx = x arctanx - ∫ [x/(1 x^2)] dx
= x arctanx - (1/2) ∫ [1/(1 x^2)] d(1 x^2) = x arctanx - (1/2)ln(1 x^2) C
它是反正弦arcsin x,反餘弦arccos x,反正切arctan x,反餘切arccot x,反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱,各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切,反正割,反餘割為x的角。
擴充資料:
函數在這個區間最好是連續的(這裡之所以說最好,是因為反正割和反餘割函數是尖端的);為了使研究方便,常要所選擇的區間包含0到π/ 2的角。
所確定的區間上的函數值域應與整函數的定義域相同。這樣確定的反三角函數就是單值的,為了與上面多值的反三角函數相區別,在記法上常將Arc中的A改記為a,例如單值的反正弦函數記為arcsin x。
為限制反三角函數為單值函數,將反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2,y為反正弦函數的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2 參考資料來源:百科全書—反三角函數 .積分區間對稱的先看式中有沒有奇函數,例如這題平方展開為:1 2x(1-x^2)^1/2,注意到2x(1-x^2)^ 1/2是奇函數,所以它在對稱區間的積分為0,只剩下"1",所以結果為2 2.出現arctan,ln之類的一定要想辦法對其做導數,x*arctanx,要想對arctanx做導,就必須用分部積分: 把x放到後面,原積分式化為:1/2arctanx d(x^2),分部積分後半部的積分式為(x^2)/(1 x^2),這個應該會積了吧,關鍵是要知道對arctan導 此題結果為:1/2(x^2*arctanx - x arctanx C) 這邊只要多做題思路就通了,真正難的在後面的多重積分和曲面曲線積分,可以說是變態級的 分部積分公式是非常重要的一個公式,有了它能在某些積分題目中利用公式快速的解出答案。同時也能在某些被積函數不能直接找到原函數的情況下解出答案。 #擴充資料: 1.分部積分法是微積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。 2.它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導而來的。它的主要原理是將不易直接結果的積分形式,轉化為等價的易出結果的積分形式的。 3.常用的分部積分的根據組成被積函數的基本函數類型,將分部積分的順序整理為口訣:「反對冪指三」。分別代指五類基本函數:反三角函數、對數函數、冪函數、指數函數、三角函數的積分。 4.不定積分的公式(1)、∫ a dx = ax C,a和C都是常數 (2)、∫ x^a dx = [x^(a 1)]/(a 1) C,其中a為常數且 a ≠ -1 (3)、∫ 1/x dx = ln|x| (4)、∫ a^x dx = (1/lna)a^x C,其中a > 0 且 a ≠ (5)、∫ e^x dx = e^x C #(6)、∫ cosx dx = sinx (7)、∫ sinx dx = - cosx C (8)、∫ cotx dx = ln|sinx| C = - ln|cscx| C 5.不定積分的方法: 第一類換元其實就是一種拼湊,利用f'(x)dx=df(x);而前面的剩下的正好是關於f(x)的函數,再把f(x)看為一個整體,出最終的結果。 分部積分,就那固定的幾種類型,無非就是三角函數乘上x,或者指數函數、對數函數乘上一個x這類的,記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f '(x)dx=df(x)變形,再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f(x)dx這樣的公式,當然x可以換成其他g(x)。 參考資料:百科全書:分部積分法反三角函數的不定積分如何證明
分部積分公式推導
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