如何計算 1x1、1x2、2x1 瓷磚的可能組合有多少種可以填充 2 x N 地板？

php小編新一將為大家解答一個有趣而燒腦的問題：如何計算 1x1、1x2、2x1 磁磚的可能組合有多少種可以填滿 2 x N 地板？這個問題涉及組合數學和動態規劃的知識，透過分析和推導，我們可以得到一個簡潔而有效的計算方法。接下來，讓我們一起來探索這個問題的答案吧！

問題內容

我剛剛做了一個技術測試，並對這個任務感到困惑。我的目標是了解如何解決這個「覆蓋地板」問題。老實說，我不知道從哪裡開始。

任務是：

1. 有一層 2 x n 層。
2. 我們有 1x1、1x2、2x1 的磁磚來填滿地板。

問題是：

1. solution(1) 預期輸出為 2，實際輸出為 2。
2. 但是，solution(2) 預期輸出為 7，實際輸出為 3。

目前的解決方案是：

1. 1x1 總是可以填滿 2 x n 層，因此可能的方式從 1 開始。
2. 如果剩餘樓層 mod 2 為 0，則可能的方式增加 1。

目前解決方案的問題是它不區分 1x2 和 2x1 區塊。因此對於 solution(2) 實際輸出是 3 而不是 7。

程式碼

package main

import "fmt"

// Solution is your solution code.
func Solution(n int) int {
    possibleWays := 1

    floorArea := 2 * n
    // Your code starts here.

    for i := floorArea - 1; i >= 0; i-- {
        residualFloorArea := floorArea - i
        fmt.Println(i, residualFloorArea)
        if residualFloorArea%2 == 0 {
            fmt.Println("punch")
            possibleWays += 1
        }
    }

    return possibleWays
}

func main() {
    fmt.Println(Solution(1))
    fmt.Println("next")
    fmt.Println(Solution(2))
}

解決方法

更具描述性且詳盡的嘗試：

呼叫覆蓋2xn網格的方式數為x_n，覆蓋2xn 1網格的方式數為y_n，覆蓋2xn 2網格的方式數為z_n。

基本案例：

• x_0 = 1，y_0 = 1，z_0 = 2
• x_1 = 2，y_1 = 3，z_1 = 5

歸納步驟，n >=2：

-- --
      |  |  |
 -- -- -- --  ...
|xx|  |  |  |
 -- -- -- --

考慮 2xn 2 網格的最左邊的單元格，如果它被 1x1 瓦片覆蓋，那麼剩下的就是 2xn 1 網格，否則，它被 1x2 瓦片覆蓋，剩下的就是 2xn 網格。因此，

z_n = x_n y_n

-- --
   |  |  |
 -- -- --  ...
|xx|  |  |
 -- -- --

考慮2xn 1 網格的最左邊的單元格，如果它被1x1 瓦片覆蓋，剩餘的將是2xn 網格，否則，它被1x2 瓦片覆蓋，剩餘的將是2x(n- 1) 1 格。因此，

y_n = x_n y_(n-1)

-- --
|xx|  |
 -- --  ...
|  |  |
 -- --

考慮2xn 網格的左上角，如果它被1x1 的圖塊覆蓋，則剩餘的將是2x(n-1) 1 個網格，如果它被1x2 的圖塊覆蓋，則剩餘的將是一個2x(n-2) 2 個網格，否則，它被2x1 瓦片覆蓋，剩餘的將是2x(n-1) 網格。因此：

x_n = y_(n-1) z_(n-2) x_(n-1)

將 z_n 替換為 x_n y_n，我們有：

• x_n = x_(n-1) x_(n-2) y_(n-1) y_(n-2)
• y_n = x_n y_(n-1)

現在，只需迭代計算每個值：

package main

import "fmt"

// Solution is your solution code.
func Solution(n int) int {
    if n == 0 {
        return 1
    } else if n == 1 {
        return 2
    }

    x := make([]int, n + 1)
    y := make([]int, n + 1)
    x[0] = 1
    y[0] = 1
    x[1] = 2
    y[1] = 3

    for i := 2; i <= n; i++ {
        x[i] = x[i - 1] + x[i - 2] + y[i - 1] + y[i - 2]
        y[i] = x[i] + y[i - 1]
    }

    return x[n]
}

func main() {
    fmt.Println(Solution(1))
    fmt.Println("next")
    fmt.Println(Solution(2))
}

您可以不使用切片來完成此操作，但這更容易理解。 遊樂場示範

以上是如何計算 1x1、1x2、2x1 瓷磚的可能組合有多少種可以填充 2 x N 地板？的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！