AI，的确正在改变数学。
最近，一直十分关注这个议题的陶哲轩，转发了最近一期的《美国数学学会通报》（Bulletin of the American Mathematical Society）。
围绕「机器会改变数学吗？」这个话题，众多数学家发表了自己的观点，全程火花四射，内容硬核，精彩纷呈。
作者阵容强大，包括菲尔兹奖得主Akshay Venkatesh、华裔数学家郑乐隽、纽大计算机科学家Ernest Davis等多位业界知名学者。
AI的世界已经发生了天翻地覆的变化，要知道，其中很多文章是在一年前提交的，而在这一年内，AI已经有了很多显著的变化。
然而，尽管如此，这些文章依旧含金量满满，甚至让陶哲轩高呼：这个领域太快了！让我还没发表的文章显得有些多余。
无人可以否认，如今AI工具正在让数学领域以惊人的速度向前迈进。
人工智能是否将引领包括纯数学在内的科学领域，在信息收集和处理方式上的一场革命？它会改变数学研究方法吗？
对此，数学家们的意见产生了分歧：某些人认为，机器学习在研究中的广泛应用即将到来，而另一些人则持怀疑态度，他们回顾了1960年代的过度乐观和随后的「AI寒冬」。
然而，数学研究实践中，已经极有可能发生剧变。现在，数学家们是时候考虑这些变化所带来的问题了。
不用怀疑，风暴就在前方。
那么，机器会改变数学吗？
在这篇论文中，菲尔兹奖得主Akshay Venkatesh探讨了自动化对数学研究的影响。
论文地址：https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01834-5/S0273-0979-2024-01834-5.pdf
在这篇论文中，Akshay Venkatesh提出了一个有趣的思想实验——
2017年，DeepMind的Alphazero一夜之间自学了国际象棋和围棋，超越了人类。
如果十年后，「Alephzero」（写作
），也做了同样的格式化数学呢？
本文中的「数学」指的是「纯数学研究」。
我们的出发点是假设「Alephzero」自学了高中和大学数学，并做完了SpringerVerlag Graduate Terts in Mathematics 系列的所有习题。第二天早上，数学家们将它放出，下载它的孩子们，用我们的计算资源运行它们。
这的确是一个思想实验，因为它显然是不现实的：通过把我们的视野限制在未来的十年或二十年，我们允许自己脱离可能伴随这种技术进步而发生的社会变革来考虑这个问题，也允许我们避免思考更极端的机器智能类型，我们把「Alephzero」当作一个电动工具而不是一个有生命的合作者来建模。
我們可以這樣安慰自己：實際上，這個前提離我們太遙遠了，我們不需要考慮它。但是，如果我們允許即使是微乎其微的可能性，這種情況可能會在二十年後發生。
透過數學家和問題網路中的貝葉斯相互作用，提供了一個非常粗略的模型，展示了我們的部分價值機制。我們現在考慮“Alephzero”將如何影響這個網絡並改變結果。
正如我們所看到的，感知到的困難是我們建構價值的重要組成部分。
無論具體情況如何，「Alephzero」都會改變我們解決問題的能力，從而改變我們對問題難度的看法。
數學過程中可以加速最快的部分將在其感知難度上降低最大，並且根據我們上面的模型，狀態將遭受最大的降低。類似的模式發生在許多自動化實例中。
最後，「Alephzero」將大大擴展數學上有趣問題的整個範圍。它會在專業數學家和其他人之間，創造公平的競爭環境。
#論文網址：https://www.ams. org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01827-8/S0273-0979-2024-01827-8.pdf
數學家鄭樂雋認為，既然技術已經改變了我們研究數學的方式，那就可以利用這項技術讓數學更具「聚合」，而不是讓人類數學家在面對技術進步時變得多餘。
在思考「研究數學」意味著什麼時，她研究了數學科技的以下幾個面向：教學與學習、提出問題、協作、傳播和做研究的行為。
這不是一個嚴謹的分析，而是基於她作為數學家經驗的明智反思。
鄭樂雋認為，雖然現在有一些電腦輔助的校對檢查器，甚至證明生成器，但技術還沒有真正侵占數學研究最深刻、最有創意、最人性化的方面。
深層的創造性部分首先涉及提出想法——定義的想法、證明的想法、在數學的不同部分之間建立聯繫的想法、表達事物的新方法的想法、符號和術語的想法、圖解推理的想法以及視覺表示的想法。
為了讓機器做數學研究，我們必須想辦法告訴它們去做，如果我們自己還不知道怎麼做，那麼我們就很難告訴它們怎麼做。
機器可以進行一定程度的證明檢查，但暗地裡，數學家們都知道，我們寫不出完全嚴格的證明——我們根據邏輯提出論點，並由我們認為同儕能夠填寫的邏輯步驟來支持。
我們沒有定義這些步驟的大小，所以很難告訴機器去做。
產生證明是一種完全不同的技能，而不僅僅是檢查它們，任何數學學生都知道。能夠遵循別人的證據，比自己想出一個新的證據要容易得多。這並不是說電腦在數學研究能力上永遠不可能超過人類數學家。
在她看來，電腦比人類數學家更厲害的地方就在於——
它們有更大的能力來搜索所有可能的動作，透過搜尋目前已知的所有可能的邏輯結果，它們就能嘗試提出新的數學。
這需要想像力、猜測和直覺的飛躍，什麼足以讓電腦做到這一點？這個想法非常有趣。
電腦能幫我們做邏輯推理嗎
論文地址：https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01833-3/S0273-0979-2024-01833-3.pdf
電腦已經徹底改變了我們進行數學研究的方法，讓複雜的計算變得輕而易舉。
但接下來，它們是否會成為我們邏輯推理的助手？甚至有朝一日，它們能否獨立進行推理呢？
本文將帶你一覽神經網路、電腦定理證明器以及大語言模型在近期的重要進展。
形式化工具如何幫助我們更好地做數學研究
#論文網址：https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01832-1/S0273-0979-2024-01832-1.pdf
##從20世紀初開始，我們就明白，數學定義和證明能夠透過擁有嚴格語法和規則的形式系統得到表示。
在這基礎上，電腦證明助手的發展讓我們能夠將數學知識以數位化的形式進行編碼。
本文將探討這類技術及其相關工具如何幫助我們更好地進行數學研究。
用定理證明器，簡化數學研究中的複雜問題
論文地址：https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01831-X/S0273-0979-2024-01831-X. pdf
本文探討如何利用互動式定理證明器透過設定抽象邊界來簡化數學研究中的複雜問題。
奇異的新宇宙：LLM讓數學家用更自然的語言和證明助手交流
論文地址：https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01830-8/S0273-0979-2024-01830-8.pdf
目前的電腦程序，也就是證明助手，能夠校驗數學證明的正確性，但它們使用的專業證明語言對許多數學家而言構成了一道門檻。
大語言模型（LLM）具有打破這一障礙的可能性，讓數學家們能夠用更自然的語言與證明助手進行交流。這樣不僅能夠培養他們的直覺，也能確保他們的論證過程正確無誤。
用深度學習工具做純數學研究
論文網址： https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01829-1/S0273-0979-2024-01829-1.pdf
########## ## ############本文是關於一位純數學家在研究中嘗試使用深度學習工具時，可能會期待的個人體驗和非正式分享。 ###############AI能做數學研究嗎#########
論文網址：https://www.ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01828-X/S0273- 0979-2024-01828-X.pdf
#本文探討了目前AI技術在解決融合了基礎數學和常識推理的文字題目方面的能力和限制。
作者回顧了三種利用AI自然語言技術開發的方法：直接給出答案、產生解題的電腦程序，以及產生可供自動定理驗證器使用的形式化表述。
作者認為，這些限制在發展純數學研究用的AI技術中的重要性尚未明確，但它們在數學應用中極為關鍵，並且在開發能夠理解人類編寫的數學內容的程式時也很重要。
論文網址：https://www. ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01826-6/S0273-0979-2024-01826-6.pdf
作者在本文中探討了證明的本質及其在機器時代的演變，並透過對比傳統驗證和電腦驗證中的價值觀進行了分析。
文章最終提出的方法可能使電腦證明借鑒人類經驗中的成功策略。
論文網址：https://www .ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01825-4/S0273-0979-2024-01825-4.pdf
p-adic數域中的連分數
#論文網址：https://www .ams.org/journals/bull/2024-61-02/S0273-0979-2024-01819-9/S0273-0979-2024-01819-9.pdf
在這篇論文中陶哲軒表示，借助於LLM處理自然語言輸入的能力，它們很可能成為一個用戶友好的平台，使得那些不具備特定軟體知識的數學家也能夠使用高級工具。
如今，他和許多科學家已經習慣使用這些模型來產生各種語言的簡單程式碼，包括符號代數包，或是製作複雜的圖表和圖像了。
目前，由於形式化證明驗證（formal proof verification）工作非常依賴人力，這使得即時將大量當前研究論文完全形式化變得不切實際。
在偏微分方程領域中，常常需要透過多頁的計算來估計涉及一個或多個未知函數（如PDE的解）的積分錶達式。
其中便涉及到使用這些函數在不同函數空間範數（如Sobolev空間範數）中的界限，結合標準不等式（例如Hölder不等式和Sobolev不等式），以及諸如分部積分或積分符號下的微分等恆等式。
這類計算雖然是常規操作，但可能包含各種程度的錯誤（如符號錯誤），對審查者來說，細緻地檢查這些計算既枯燥又費時，而這些計算本身除了最終的估計結果是正確的之外，很難提供更深入的數學理解或見解。
可以設想，未來可能開發出工具，以自動或半自動的方式建立數學估計，並將目前那些既冗長又缺乏啟發性的估計證明替換為一個指向形式證明證書的連結。
更進一步，我們也許能夠期待，基於一組初始的假設和方法，未來的AI工具能夠提出它所能得出的最佳估計，而無需先進行紙筆計算來預測這個估計可能是什麼。
目前來看，估計可能的狀態空間過於複雜，難以自動化地進行探索；但隨著技術的發展，實現這種自動化探索的可能性並非遙不可及。
一旦實現，我們就能在目前看來不可行的規模上進行數學探索。
還是以偏微分方程為例，目前的研究通常一次只研究一到兩個方程式；但在未來，我們可能能同時研究數百個方程式。
例如，先對一個方程式完整地展開論證，然後讓AI工具將這些論證調整適用於大量相關的方程族，必要時，當論證的擴展出現非常規情況時，AI會向作者提問。
如今，在數學的其他領域，比如圖論，這種大規模數學探索的初步跡像已經開始顯現。
但目前的這些初步嘗試，由於依賴計算量極大的AI模型或需要大量的專家級人工參與和監督，因此難以大規模推廣。
然而，陶哲軒相信在不遠的將來，我們將見證更多創新的機器輔助數學方法的誕生。
以上是AI顛覆數學研究！菲爾茲獎得主、華裔數學家領銜11篇頂刊論文｜陶哲軒轉贊的詳細內容。更多資訊請關注PHP中文網其他相關文章！
