C++ 遞歸函數的時間複雜度如何分析？

遞歸函數的時間複雜度分析涉及:識別基本情況和遞歸呼叫。計算基本情況和每次遞歸呼叫的時間複雜度。求和所有遞歸呼叫的時間複雜度。考慮函數呼叫次數與問題大小的關係。例如，階乘函數的時間複雜度為 O(n)，因為每次遞歸呼叫都會遞歸深度增加 1，總深度為 O(n)。

C 遞歸函數的時間複雜度分析

在電腦科學中，遞歸是一種程式設計技術，允許函數調用自身。雖然遞歸可以編寫簡潔而優雅的程式碼​​，但對時間複雜度的理解至關重要，因為它影響程式的效能。

時間複雜度

時間複雜度衡量演算法相對於輸入大小執行所花費的時間。對於遞歸函數，輸入大小通常是問題的大小，例如陣列中的元素數量或要解決的問題的深度。

分析遞迴函數

分析遞迴函數的時間複雜度需要辨識：

• 基本情況：函數停止調用的情況。
• 遞迴呼叫：函數呼叫自身的情況。

計算時間複雜度

1. 確定基本情況執行的時間複雜度為 O(1)。

2. 對於每次遞歸調用，計算與調用相關的時間複雜度，包括：

   • 函數調用的時間複雜度
   • 遞歸調用後執行的時間複雜度
3. 將所有遞歸呼叫的時間複雜度求和。
4. 考慮函數呼叫次數與問題大小的關係。

實戰案例：階乘函數

階乘函數遞歸地計算一個整數n 的階乘，即n (n-1) (n-2) ... 1。

int factorial(int n) {
  // 基本情况
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  // 递归调用
  return n * factorial(n-1);
}

• 基本情況：當 n 為 0 時，時間複雜度為 O(1)。
• 遞迴呼叫：每次遞迴呼叫執行乘法運算 (O(1))，然後呼叫 factorial(n-1) (遞迴呼叫)。
• 時間複雜度：每次遞迴呼叫都會遞歸深度增加 1，因此總深度為 O(n)。由於函數呼叫和遞歸呼叫後的執行時間為 O(1)，因此時間複雜度為 O(n)。

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