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LLM提出證明策略,人類無縫幹預
Lean Coilot,讓Lean更好用
產生策略建議
搜尋完整證明
選擇註解好的前提
81.2%的證明步驟,全都自動化了
透過Copilot在Lean中進行本地LLM推理
華人作者立大功
#Peiyang Song(宋沛洋)
Kaiyu Yang(楊凱峪)
Anima Anandkumar
更廣泛地說,Anandkumar教授一直在研究加速非凸優化的高效技術。
參考資料:
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加州理工華人用AI顛覆數學證明!提速5倍震驚陶哲軒,80%數學步驟全自動化

Apr 23, 2024 pm 03:01 PM
python vscode git ai c++ llm 陶哲軒 標準函式庫

Lean Copilot,讓陶哲軒等眾多數學家讚不絕口的這個形式化數學工具,又有超強進化了?

就在剛剛,加州理工學院教授Anima Anandkumar宣布,團隊發布了Lean Copilot論文的擴展版本,並且更新了程式碼庫。

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論文網址:https://arxiv.org/pdf/2404.12534.pdf

#最新實驗表明,這個Copilot工具,可以自動化80%以上的數學證明步驟了!這個紀錄,比以前的基線aesop還要好2.3倍。

並且,和以前一樣,它在MIT許可下是開源的。

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他是華人小哥宋沛洋,他是UCSB的榮譽CS本科生,加州理工學院計算數學科學(CMS)系的SURF研究員。

網友驚呼:所以,陶哲軒現在的數學研究可以原地加速5倍了?

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LLM提出證明策略,人類無縫幹預

團隊就發布了這個Lean Copilot的工具,希望啟動人類和LLM的協作,寫出100%準確的形式化數學證明。

它解決了一個核心技術挑戰:在Lean中運行LLM的推理。

透過這個工具,我們可以讓LLM在Lean中提出證明策略,讓人類以無縫的方式介入和修改。

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之所以開發這個項目,是因為自動化定理證明在如今仍是一項艱鉅的挑戰。

我們都知道,LLM在做數學和推理任務時,常常會犯錯、產生幻覺,十分不可靠。

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因此,到目前為止,數學證明大多是手動推導的,需要仔細驗證。

像Lean這的定理證明工具,倒是可以形式化證明過程的每一步,但人類寫起Lean,實在很費力。

在這種情況下,Lean Copilot的誕生就顯得意義重大。

讓陶哲軒多次震驚的神器:數學家還不會用就完蛋了

LLM可以作為輔助人類證明定理的工具,這論點已經被陶哲軒多次證實了。

他前腳剛在部落格預測,26年AI將和搜尋、符號數學工具結合,成為數學研究中值得信賴的合著者。

緊接著,佐證他觀點的研究就如雨後春筍一般源源不絕地冒出來。

去年6月,加州理工、英偉達、MIT等機構的學者,就建構了一個基於開源LLM的定理證明器LeanDojo。

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9月,微軟亞洲研究院、北大、北航等機構的研究人員,透過97個回合的「蘇格拉底式」嚴格推理,成功讓GPT-4得出了「P≠NP」的結論,破解了這個千禧年難題

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在第97輪對話中,GPT-4得出結論,證明範例在沒有窮舉法的情況下無法求解,證明了結論為P≠NP

去年10月,陶哲軒在GPT-4、Copilot的幫助下,直接發現了自己論文中的一處隱藏bug。

在用Lean4形式化第6頁論點的過程中發現,他發現表達式

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在n=3,k=2時,其實是發散的。

這個不太容易看出的bug能被及時抓住,多虧了Lean4。原因是,Lean要求他建構02。由此,Lean無法基於負的0

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這個發現直接讓陶哲軒瞳孔震驚。

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而在去年年底,#陶哲軒直接成功地用AI工具,完成了形式化多項式Freiman-Ruzsa猜想證明過程的工作

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最後,依賴關係圖已經完全被綠色所覆蓋,Lean編譯器也報告說,這個猜想完全遵循標準公理。

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在這個過程中,所有最前線的數學研究者,都在第一時間感受到了AI對於數學研究顛覆力量的直接衝擊。

Lean Coilot,讓Lean更好用

而今天,Lean Copilot的這項研究,讓Lean直接變得更強大了。

在這篇論文中,團隊基於Lean Copilot建立了一些工具,用於建議證明步驟(策略建議)、完成中間證明目標(證明搜尋)和使用LLM選擇相關前提(前提選擇)。

實驗結果也充分證明了,跟Lean中現有的基於規則的證明自動化相比,Lean Copilot在輔助人類自動化定理證明上,是有效的。

Lean Copilot提供了一個通用框架,可以透過CTranslate 2在本地,或在伺服器上執行LLM的推理。

透過這個框架,使用者就能創造各種自動化證明工具。

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Lean是數學家中很受歡迎的證明助手。如下圖所示,Lean中的一個證明,是由一系列被稱為策略(tactics)的證明步驟組成。

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從整個定理開始作為初始目標,策略反覆地將目前的目標轉換為更簡單的子目標,直到所有目標都解決。

使用者在由VSCode驅動的IDE中互動編寫策略,在右邊的infoview面板中顯示目標。

產生策略建議

利用Lean Copilot,團隊建立了suggest_tropics,一種用LLM產生策略建議的工具。

而它本身,也是一種策略。

應用程式時,它會將目前目標輸入LLM,並且從LLM取得產生的策略候列表。

它會查看每個選項,看它們是否會 1)導致錯誤;2)結果沒有錯,但不能完成證明;3)順利完成證明。

如果是1),這個策略就會被刪除。

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只有無錯誤的策略,才會顯示在右邊的視圖面板中。

其中,成功完成證明的策略,使用綠色標記(類別3);沒有錯誤改變證明目標,但未完成證明的策略,使用藍色標記(類別2)。

注意!當所有列出的策略都屬於類別2時,這個資訊對於使用者來說,可能極有價值。

在這種情況下,剩餘目標的訊息,可以直接幫助使用者選擇策略,作為下一個中間證明步驟。

看到建議後,使用者可以選擇是否接受,或使用它們作為靈感來源,制定新策略。

例如,我們在Lean程式碼中定義了一個定理add_abc,它的初始目標如圖3右所示。

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當我們輸入suggest_tropics時,會在右邊看到策略建議。

第一個策略顯示為綠色,表示證明已成功完成。

接下來三個建議都是藍色,這表示無法直接完成證明,但不會導致錯誤。

因而,它們很有可能是有效的中間證明步驟!

同時,剩餘子目標也顯示了出來。

而Tactic state欄位顯示No goal,是因為至少有一個策略建議可以被證明。

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搜尋完整證明

此外,因為人類和機器都不能始終如一地產生正確的策略,因此在這個過程中必須回溯、探索不同的替代方案,這個過程就是證明搜尋。

當是上面所說的Suggest_tropics,僅能產生目前步驟的策略,不具備搜尋多策略證明的能力。

為此,團隊將其與基於規則的證明搜尋工具aesop結合起來,建立了一個基於LLM的證明搜尋工具。

Aesop會將最佳優先搜尋作為Lean的策略實施,並且允許使用者配置搜尋樹的擴展方式。

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搜尋樹是由作為節點的目標組成。

起初,它只有原始目標作為根節點。在每一步中,aesop都會選擇最有希望的未擴展節點,透過應用程式策略對其擴展,將產生的節點新增為子節點。

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而當aesop找到一條從根源到可輕鬆解決的目標的路徑,就證明搜尋成功了!

因此,aesop的效能關鍵取決於使用者是否配置了有效的規則集。

這就可以看出,aesop缺乏彈性。因此,Search_proof透過在每個步驟中由suggest_tropics產生的目標相關策略,來增強aesop的規則集,讓它變得更加靈活。

對於圖3中的原始目標,使用者只需輸入search_prrof,找到可以解決目標的完整證明,就顯示在了資訊視圖中(圖5右)。

可以看到,由於發現了成功的證據,所以剩餘的Tactic state是No goals。

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選擇註解好的前提

此外,定理證明中另一個具有挑戰性的重要任務是,找到減少或完成證明的相關前提。

除了原始碼庫和標準函式庫中有大量前提,Lean還有一個大型數學函式庫(Mathlib)。

然而,從所有函式庫中搜尋候選前提,極為困難且耗時耗力。

所以許多人試圖,能在Lean,或其他的證明助手中得到輔助,或自動完成這一過程。

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在Lean中,最先進的前提選擇方法是,直接在Lean中實現的基於隨機森林( random forest)的框架。

然而,前提選擇任務非常適合檢索增強型LLM,即在大模型訓練期間訓練檢索矩陣(前提嵌入),以估計證明目標與候選前提之間的相關性。

給定推理時的證明目標,首先將目標編碼成一個向量,然後在前提嵌入和目標向量之間執行矩陣向量乘法。

然後,為了選擇前k個前提(其中k可以是超參數,決定使用者想要回傳多少前提),此時只要回傳得分最高的k個前提。

而要在Lean中執行推理任務,除了Lean Copilot提供的快速推理外,還需要一個高效的矩陣乘法庫和一個C 的numpy矩陣閱讀器。

研究人員採用了來自CTranslate2的矩陣乘法函數,和來自Libnpy的C 快速numpy檔案讀取器。

他們又透過FFI機制,將這些數字連結到Lean。

因此,前提選擇的策略可以非常有效率地運行,因為前提嵌入可以預先計算,所有後續操作都可以使用上文介紹的函式庫在C 中快速完成。

在獲得回傳的前提後,研究者進一步以有用的信息對其進行註解。

這裡將所有前提分為兩類:可直接在當前環境中使用的前提(範圍內前提)和不可直接在當前環境中使用的前提(範圍外前提)。

這取決於是否導入了所需的軟體包。

如果已經導入了前提所需的套件,則可以輕鬆使用該前提。如下圖6顯示了附註解的範圍內前提。

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圖7所示是註解的範圍外前提。

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下面舉個使用「前提選擇」的例子,對於圖3中的定理add_abc,可以直接在證明中輸入select_premises(圖8左)。

然後,相關前提的列表,就會出現在資訊視圖中(圖8右)。

對於這個簡單的定理,可以清楚地看到所選的前提確實相關,因為它們都與自然數和加法規則有關。

在這種情況下,所選的4個前提都在目前範圍內,這表示它們的模組已經導入。

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如上,便是研究人員透過Lean Copilot建構的三個實用的證明自動化工具,用於策略建議、搜尋證明和前提選擇。

81.2%的證明步驟,全都自動化了

透過Lean Copilot框架,研究人員憑經驗提出了假設-在Lean互動定理證明(ITP)中進行人機協作是有益的。

由於Lean中的定理證明過程,主要以策略證明為主。

因此,在具體實驗中,作者主要評估了用於「策略建議」,以及「證明搜尋」的證明自動化工具。

總而言之,aesop是當前是一種用於證明搜索,最先進的基於規則的證明自動化工具。

研究人員在兩種情況下,驗證了基於LLM的搜尋證明與aesop相比的有效性:

(1)自主證明定理(LLM獨立完成)

(2)協助人類進行定理證明(人類與AI協作)

此外,研究者還將搜尋證明與策略建議進行了比較,以證明除了單一策略建議之外,搜尋證明體現的優勢。

研究Lean Copilot如何有效地幫助人類進行ITP的過程,類似於人類在軟體程式設計中使用Copilot的範式。

也就是說,當我們面對一個目標時,首先會呼叫Copilot,看其是否可以直接解決問題。

如果不能,我們會進一步簡化目標,然後再嘗試Copilot。然後,一直重複上述過程,直至Copilot成功解決剩餘目標。

而研究人員是透過這樣的迭代協作範例中,去查看每個證明自動化工具可以自動化多少人力。

具體結果,如下表1顯示。

證明搜尋(search_proof)可以自動證明64%的定理(50個中的32個),明顯高於aesop和策略建議(suggest_tropics)。

當用於輔助人類時,證明搜尋只需要平均1.02個手動輸入策略,這也比aesop(3.62)和策略建議(2.72)更好。

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最後,對於每個測試的定理,作者計算了三個工具中每一個可以自動化的證明步驟的百分比。

結果發現,證明搜尋可以自動完成定理中約81.2%的證明步驟,明顯高於策略建議(48.6%)和aesop(35.2%)。

總之,證明搜尋的效能比策略建議,高出1.67倍,比基於規則的基線aesop高2.31倍。

透過Copilot在Lean中進行本地LLM推理

Lean Copilot中的tactic建議、證明搜尋和前提選擇,這三個任務本質上可能看起來不同,但對於使用者體驗的要求是相似的。

它們都需要足夠快速地產生回應,具有適中的運算需求,同時在Lean中運行。

使用者之所以有這些要求,是因為Lean本身在大多數情況下都能非常快速地提供環境回饋(例如剩餘目標,錯誤訊息,類型資訊等)。

這種快速,跟證明定理的本質是一致的-它需要連貫的推理。

如果Lean Copilot需要使用者等待很長一段時間,那麼人類和AI之間的協作就很難發揮作用。

同樣,我們也非常希望滿足低運算的需求。因為Lean中的定理證明本身不需要GPU,可以在使用者本地的筆記型電腦上運作。

因此,能夠在大多數硬體(包括沒有GPU的筆記型電腦)上高效運行,對於Lean的用戶就非常重要。

因為使用者在編寫證明時,可能無法存取支援CUDA的GPU。

因為需要滿足快速推理和低運算需求,而且所有流行的高效深度學習框架都是在Python中,團隊想到的一個自然的解決方案,就是在Python中託管模型(本地或遠端),然後從Lean向模型發出請求。

然而,這種方法會受到進程間通訊的開銷的影響,並且它需要使用者執行額外的設定步驟,並不適合Lean的傳統工作流程。

為了克服這些問題,Lean Copilot透過外部功能介面(FFI)在Lean中本地運行LLM。

FFI是一種機制,可以用一種語言寫的程式呼叫另一種語言的子程式。

Lean部分用c 實現,可以與c 高效互通。

程式設計師可以在Lean中宣告一個函數,但在c 中實作函數體。實作會被編譯到一個共享庫中,並動態連結到Lean。

預設情況下,我們採用的是LeanDojo預訓練的repver模型。它基於一個編碼器-解碼器轉換器,BVT5,它將輸入字串映射到輸出字串。

Lean Copilot透過將模型包裝成一個對字串操作的c 函數,使其在Lean中可運行,該函數可以透過FFI在精益中呼叫。

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華人作者立大功

最新論文中的三人團隊,也是23年6月開源平台LeanDojo其中的作者。

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論文網址:https://arxiv.org/pdf/2306.15626.pdf

#Peiyang Song(宋沛洋)


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宋沛洋是加州大學聖塔芭芭拉分校創意研究學院(CCS)的電腦科學榮譽本科生,導師是Richert Wang和Phill Conrad 。

同時,他也是加州理工學院計算與數學科學系(CMS)的SURF研究員,由Anima Anandkumar教授和Kaiyu Yang博士共同指導。

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另外,他也是UC伯克利建築實驗室的研究員,與Tim Sherwood和Dr. Jeremy Lau(Google )一起合作。

他的研究興趣是機器學習(ML),涉及自然語言處理(NLP)和電腦視覺(CV)等應用領域,以及系統和程式語言(PL)等基礎理論。

宋沛洋最近的研究主要有兩個方向。

一是神經符號推理和人工智慧數學(AI4Math),將大模型與互動式定理證明器(ITPs)相結。

另一個是基於時序邏輯的高能效機器學習。

Kaiyu Yang(楊凱峪)

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楊凱峪是加州理工學院計算數學科學(CMS)系的博士後研究員,指導教授是Anima Anandkumar。

他曾在普林斯頓大學獲得了博士學位,導師是Jia Deng,也曾與Olga Russakovsky、陳丹琦一起工作。

他的研究重點是神經符號人工智慧,旨在使機器學習能夠進行符號推理,希望透過兩個方向實現:

(1)將機器學習應用於符號推理任務,如形式邏輯或自然語言中的數學推理和定理證明;

(2)將符號組件引入機器學習模型,使其更具可解釋性、可驗證性和數據高效。

目前,他正在研究能夠理解和推理數學的人工智慧。數學推理是人類智慧的一個重要里程碑,它有可能改變科學和工程中的許多重要問題,例如解決偏微分方程和公式驗證。

Anima Anandkumar

Anima Anandkumar現在是加州理工學院計算和數學科學教授。

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她的研究興趣主要集中在大規模機器學習、非凸優化和高維度統計等領域。

特別是,她一直在帶頭開發和分析機器學習的張量演算法。

張量分解方法具有極高的平行性和可擴展性,可應用於大量資料。它可以保證收斂到最優解,並對許多機率模型(例如Markov模型)輸出一致的估計結果。

更廣泛地說,Anandkumar教授一直在研究加速非凸優化的高效技術。

參考資料:

https://www.php.cn/link/1dd5a4016c624ef51f0542d4ae60e281

#https://www.php.cn/link/ed798eec75807df6e79b0be391f720e4

#https://www.php.cn/link /a652e914c736dfaf8a6667ae6936f0d6

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