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为什么负数的取余计算各个编程语言结果不统一?

Jun 06, 2016 pm 04:42 PM

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带符号整数的除法与余数 数学上都正确,这个定义本来就有好几个
比如按r = a - n\text{trunc}\left( a/n \right)
或者按r=a-n\left\lfloor{a/n}\right\rfloor
IEEE标准是则是r=a-n\text{round}\left(a/n\right) ,然而round标准也有好几个。。。
如果round是IEEE默认的round to the nearest,从标准的角度似乎应该是3。。。但IEEE好像也没说其他的round标准不对。。。

PS:很多语言干脆提供了两个函数,rem和mod 就是商向0或负无穷方向取整的选择,c从c99开始规定向0取整,py则规定向负无穷取整,选择而已,无所谓对错 就算是相同语言不同编译器也会不一样的。

在我发现这个问题之后,每当我更新IDE/编译器的时候都会用我的测试程序跑一遍,看看是不是和上个版本有什么不同。

有的时候一些小改动很坑的。

PS:有时候也不行,不能保证测试结果是唯一的。 问题的关键在于商是向负无穷取值还是向0取值 -7/10=0....-7
or
-7/10=-1....3
其他语言我不清楚,貌似c11规定向0取值 关于负数的余数,楼上很多网友已经阐述了纯数学概念上的意义。我想从另一个角度说说我的看法。先明确一点:我们讨论的是“被除数”(分子)是负整数,而除数(分母)是正整数的情况。

先看一个例子: (-17) mod 5 =?

答案一: (-17) = (-3)*5 + (-2),所以余数是 -2 。

答案二: (-17) = (-4)*5 + (+3),所以余数是 +3 。

首先,从“纯数学”概念上说,两个答案都“对”,就好像解方程的时候出现“复数解”一样,也是一个解。所以各种编译器按照各自的逻辑来产生余数。

但是,从人类思维角度上说,“负数”的起源是因为“不足、欠缺”,使用负数是为了知道有多欠缺,然后去补救。从这个角度才能正确理解“负数的余数”的实际意义(区别于纯数学概念)。

打个比方,你和另外5个同学住在宿舍里,你很勤快,那5个人很懒,让你帮忙买早餐,比如说,油条、豆浆 …… 你提着他们的早餐回来,对他们说:“一共17块钱。”就是说,他们5个人一共欠你17元。平均每人给你 17/5=3.4元。

于是他们就翻箱倒柜 —— 不是没有钱,而是在找零钱,每人都要拿0.4元,嗯,各位看官不妨找找自己身上有没有4毛钱 …… 结果就是,都找不到零钱,怎么办?于是有两种办法:

办法一:每人给你3块钱,但是总共还欠你2块钱,余数= -2

办法二:每人给你4块钱,但是你要给回他们3块钱,余数 = +3

现在问题是:各位作为人类,倾向于采用哪一个办法?

上面说了,人类之所以使用负数,是为了知道“不足”,然后进行补救。现在既然欠了钱要还,我想那5位同学都会给你4块钱,倒不是说他们是为了给你3块钱跑腿费,而是他们想“了(liao)了(le)这笔账”,他们不想5个人 每人都欠你0.4元的人情(何况你还真的跑腿了),既然都还钱了,为什么还要留一笔“遗留问题”呢?

所以,从人类思维习惯和实际需要来说(再说一遍:区别于纯数学概念),无论被除数(分子)是正数还是负数,余数都应该取正数,这样才符合人类的思维习惯和实际需要。

题外话:就好像除数(分母)通常是正数一样,如果用一个负数来做除数(分母),人们会觉得很别扭,很难理解。

其实,如果允许余数可以是负数的话,那么 23%5 同样有两个答案,可以看作 +3,也可以是 -2,但我相信没有人会用 -2,第一反应肯定是用 +3 。

现在回到题主的问题: (-7)%10=? 是 +3 还是 -7 ?

如果说人话,就是:现在欠你7块钱,由10个人来还,怎么办?

办法一:每人还你一块钱,结果多出3块钱,余数=+3

办法二:每人还给你 0元,余数 = -7 ,结果最后,一切照旧,依然欠你7块钱 ……
数学语言说:向负无穷取值还是向0取值 ……

==========分割线==========分割线==========分割线==========分割线==========

说到这里,可能有人说,数学不是凭情感、看习惯的,数学是严谨的。

我非常赞同这个观点,对于数学这种推崇严密和严谨的科学,同样的操作数、同样的运算符,必然得到同样的运算结果。那么,余数这种“可正可负”的“双重标准”是致命的 Fatal Error ,会摧毁数学大殿的根基。试想一下,-7伏和+3伏是两个截然相反的脉冲信号,足以让航天飞机掉进茫茫大海了……

还是以 (-7)%10 为例。同余定理是数学的基础定理之一,中学生都懂,我们来看看:

13 %10 = 3
(13+10)%10= 3
(13+20)%10= 3
(13-10)%10= 3
(13-20)%10=(-7)%10=? —— 问题来了。

显然,根据余数定理,答案无疑就是+3 ,而不是 -7 。这与我的上述观点互相印证。

如果认为 (-7)%10=-7 的话,那么连中学生都懂的余数定理就不成立了,数学变得如此脆弱,如此不堪一击。

余数定理是计算机表示负数、补数的理论基础,那些编译器产生的混乱结果,恰恰说明这些编译器的开发者不懂得余数的概念和意义。毕竟,搞电脑和搞数学是不同的领域。 因为数学上一般不关心负数的余数,数论一般讨论的都是正整数。 可能是程序员没有区分开 取余和取模,百度一下取余,取模。仅供参考 说的好像各个编程语言内部是统一的一样。。

请题主先把cl、gcc、clang、cmake、tc等实现的各主要版本都实验一遍。。
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