如果是一个非常大的N <10000000 那么计算出来的N！也是非常大的，现在只需要知道最高位的数字。
通过斯特林公式可以计算。
特林斯公式：
（公式1）
如下是算法：
result = 0.5* log(2*PI*(double)n)/log(10.0) + (double)n* log((double)n/E)/log(10.0);
result -= (int)result;
first_number = exp(result * log(10.0));
以上算法代码计算通过公式表示：
（公式2）
目前已知通过如下计算可以得到最高位：
（公式3）
剩下的就是求N！，虽然N！可以通过特林斯计算，但是计算结果非常大。计算机直接计算会溢出结果，如下执行结果：
可以看出当执行到180的时候结果都已经溢出。
原因应该是在计算N！ 的时候结果直接存储在计算机导致空间不足。
我所不明白的是为什么（公式2）的算法就可以直接计算出结果不溢出，且正确（当然数字过小的话也会有错误，比如0,1,2,3,7,8结果将不正确）。
最後是透過以10為底的對數log10(xxx)來求其最高位，這個你理解吧？他上面就是透過對數轉換把求以10為底的對數轉為以e為底的對數 aka: ln(yyy)
首先，鬍鬚佬頭，已經說的很明白了，原理就是他所說的那個，把原來用lg去求的問題，轉換為了ln去求。
我還是幫你貼張tu吧：（喜歡數學的都是好樣的）
看到啦，其實上面已經驗證過了，如果要求5014的最高位，那麼可以寫成：
最高位= 5014 / (取整數)1g(5014); (注意類別C語言裡面，除法，會進行整數截斷)
ok，再說正事兒，你那個特林斯公式，假設拿到的階乘的近似值為X (一大串不管了，簡單點兒叫X),
如果想拿到這個數的最高位h,那麼有如下計算：
h = X / (int)lgX;
此時，透過特林斯公式，X 已求得，
計算一下「lgX的整數部分」就可以了。
先籠統的算（先不求整部和小數部分，直接算lgX）
lgX = lnX / ln10 (就是你上面把特林斯公式帶進去求值的那個式子，哦，你的圖還算錯了)
得到lgX= result (我化簡過了，不信你把那個特林斯公式化簡)
到這裡，就明白了，拿到result的整數部分，就能救出lgX的整數部分了，也就能求出最高位h.
而不是你說的「拿到小數部分」。
最後，根據你提供的特林斯公式，得到階乘factorial的值為：
X 約等於e^(ln10 * result的整數部分)； （你可以自己從特林斯的公式變形到這一步看看）
似乎也不是你所說的
first_number = exp(result * log(10.0));
再有問題，在討論？貼出你最終的結果？