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计算大指数的 (a^b)%MOD

计算机编程中，计算 (a^b)%MOD 的问题当我们需要将数字“a”提高到大指数“b”（以固定常数“MOD”为模）求余数时，就会出现这种情况。这是各种密码应用和数学计算中的常见任务。

Log(b) 时间复杂度方法

解决此问题的一个简单方法是使用内置的在 C 中的 pow() 函数中，它使用乘法算法计算 a 的 b 次方。但是，当 'b' 很大时，此方法会变得低效，因为它需要 O(b) 时间。

欧拉定理

更有效的方法涉及使用欧拉定理，它指出对于任何整数“a”和素数模“p”，a^p mod p = a^(p-1) mod p。通过扩展，可以使用欧拉 totient 函数 φ(MOD) 将其推广到任何正整数 'MOD'。

欧拉 Totient 函数

欧拉 totient 函数计算数字小于“MOD”且与“MOD”互质的正整数。使用'MOD'的素因式分解可以有效地计算。

计算大指数的 (a^b)%MOD

结合欧拉定理和欧拉 totient函数，我们可以高效地计算大指数的 (a^b)%MOD。

1. 计算总函数 φ(MOD)。
2. 计算 (a ^ φ(MOD)% MOD).
3. 计算 (a ^ (b % φ(MOD)) %MOD).

这种方法将时间复杂度降低到 O(log(φ(MOD)) ）并可以处理不适合“long long”数据类型的指数。

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