我们如何生成给定集合的所有集合分区？

生成所有集合分区

组合数学中的基本问题之一是查找给定集合的所有分区。集合划分将集合划分为非空的不相交子集，称为块或部分。

在这个问题中，我们寻求一种方法来枚举具有不同元素的集合的所有划分。考虑集合 {1, 2, 3}。其分区为：

• {{1}, {2}, {3}}
• {{1, 2}, {3}}
• { {1, 3}, {2}}
• {{1}, {2, 3}}
• {{1, 2, 3}}

分区算法

任务可以分解为两个子问题：分割成两部分以及将一部分分割成多个

两部分分区

对于 n 元素集，可以通过将每个元素表示为 n- 中的一个位来生成所有两部分分区位模式。 0 位表示放置在第一部分中，1 位表示放置在第二部分中。为了避免交换部件时出现重复结果，我们始终将第一个元素分配给第一个部件。这留下 (2^(n-1))-1 唯一的两部分模式。

递归分区

使用两部分分区技术，我们可以递归构造所有分区。

1. 从一个空的固定部分开始，原始集合作为后缀。
2. 生成后缀的两部分分区。
3. 对于每个后缀分区，递归地将其第二部分分区为多个部分。
4. 将固定部分与递归组合分区以获得包含固定部分的所有分区。
5. 重复步骤4，直到所有元素均已分区。

C# 实现

以下 C# 实现采用递归分区算法：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace PartitionTest {
    public static class Partitioning {
        public static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[] elements) {
            return GetAllPartitions(new T[][]{}, elements);
        }

        private static IEnumerable<T[][]> GetAllPartitions<T>(T[][] fixedParts, T[] suffixElements) {
            // Trivial partition: fixed parts followed by all suffix elements as a single block
            yield return fixedParts.Concat(new[] { suffixElements }).ToArray();

            // Two-group-partitions of suffix elements and their recursive sub-partitions
            var suffixPartitions = GetTuplePartitions(suffixElements);
            foreach (Tuple<T[], T[]> suffixPartition in suffixPartitions) {
                var subPartitions = GetAllPartitions(
                    fixedParts.Concat(new[] { suffixPartition.Item1 }).ToArray(),
                    suffixPartition.Item2);
                foreach (var subPartition in subPartitions) {
                    yield return subPartition;
                }
            }
        }

        private static IEnumerable<Tuple<T[], T[]>> GetTuplePartitions<T>(T[] elements) {
            if (elements.Length < 2) yield break;

            for (int pattern = 1; pattern < 1 << (elements.Length - 1); pattern++) {
                List<T>[] resultSets = {
                    new List<T> { elements[0] },
                    new List<T>() 
                };
                
                for (int index = 1; index < elements.Length; index++) {
                    resultSets[(pattern >> (index - 1)) & 1].Add(elements[index]);
                }

                yield return Tuple.Create(resultSets[0].ToArray(), resultSets[1].ToArray());
            }
        }
    }
}

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