跨编程语言的大十进制算术：弥合差距

处理高精度算术对于金融、密码学和科学计算等领域至关重要。虽然某些编程语言为任意精度算术提供强大的本机支持，但其他编程语言则需要解决方法或第三方集成才能实现类似的功能。本文探讨了跨语言的大十进制支持状态，并讨论了缺乏此功能的语言的解决方案。

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内置支持的语言

Python

• Python提供了decimal.Decimal模块，它允许任意精度的十进制算术。它特别适合金融计算，遵循用户定义的精度和舍入规则。
• 像 mpmath 这样的库扩展了 Python 的功能，支持高级数学函数的任意精度浮点运算。

Java

• Java 在其标准库中包含 BigDecimal 类，这是一个用于处理任意精度十进制数的高性能工具。它支持所有标准运算（加、减、乘、除、平方根等），广泛应用于金融应用。

C

• C 提供了诸如 Boost Multi precision 之类的库，其中包括用于任意精度十进制算术的 cpp_dec_float 和 mp_float。
• MPFR 和 GMP 也可以在 C 中使用进行极高精度算术，为乘法、除法等提供优化算法。

C (GMP/MPFR)

• GNU MP (GMP) 库是任意精度算术的黄金标准。它为性能关键型应用提供高级算法（例如 Karatsuba、Toom-Cook、FFT、Barrett 缩减）的高度优化实现。
• MPFR，基于 GMP 构建，是另一个专门从事高精度浮点运算的强大库。

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支持有限的语言

许多现代编程语言（例如 Go、Node.js、Elixir）本身并不支持大十进制算术，这可能会给需要高精度的应用程序带来挑战。

走

• 虽然 Go 包含用于任意精度整数和有理数的 math/big 包，但它缺乏对定点小数（如 Java 的 BigDecimal）的原生支持。像 shopspring/decimal 和 cockroachdb/apd 这样的第三方库有助于弥补差距，但与 GMP 或 Java 的 BigDecimal 相比，功能不太丰富。

Node.js (JavaScript)

• JavaScript 由于依赖 IEEE 754 双精度浮点数，因此精度有限。像decimal.js或big.js这样的库模拟任意精度算术，但速度不如Python或Java中的本机实现。

灵丹妙药

• Elixir 不包含原生大十进制算术，但提供了 Decimal 等库，专为金融和精确十进制计算而构建。然而，这些库缺乏 GMP 中的高级优化。

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有限支持的解决方法

1.外部函数接口 (FFI) 集成

Go、Node.js 和 Elixir 等语言可以使用 FFI 与高性能库（例如 GMP、MPFR）集成。虽然这允许访问高级算法，但由于跨语言调用，它增加了复杂性和潜在的性能开销。

2.通过 gRPC 或 Thrift 的远程服务

另一种方法是使用具有强大的大十进制支持的语言（例如，Python、Java 或带有 GMP 的 C）创建微服务，并通过 gRPC 或 Thrift 公开它。主应用程序（例如，Go、Node.js 或 Elixir）可以对此服务进行 RPC 调用以进行高精度计算。

远程服务的优点

• 集中实施确保正确性和一致性。
• 与在每个应用程序中嵌入 FFI 相比，更易于维护和扩展。

缺点

• 由于网络开销而增加延迟。
• 增加了维护和监控服务的复杂性。

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实际用例：财务计算

假设金融科技应用程序是用 Node.js 或 Go 编写的，但需要高精度运算：

• 计算数百个周期的复利。
• 以小分数汇率转换货币。
• 按照严格的舍入规则进行税收计算。

应用程序可以：

，而不是重新实现大十进制支持

1. 使用gRPC集成Python或Java进行后端计算。
2. 在 C 微服务中使用 GMP 或 Boost Multi precision。
3. 提供基于 REST 或 Thrift 的 API 来访问这些服务。

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大十进制运算的算法

高精度算术库，例如 GMP 和 MPFR，采用复杂的算法进行乘法、除法和模运算等运算。这些算法针对大量数据的性能和可扩展性进行了优化：

1.乘法算法

• 经典乘法：用于较小的数字；缩放为 $(O(n^2））$(O(n2）） 时间复杂度。
• Karatsuba 算法：一种分治算法 $(O(n^{1.58}))$(O(n1.58）） 复杂度，用于中等规模的数字。
• Toom-Cook (Toom-3)：概括 Karatsuba 以获得更大的输入；缩放为 $(O(n^{{\log }_3(5)}))$(O(n日志3​( 5)）） .
• 基于 FFT 的乘法：对非常大的数使用快速傅立叶变换，其中 $(O(n\log n））$(O(nlogn)) 复杂性。

2.除法和模运算

• 牛顿拉夫逊法：用于通过迭代求精进行高速除法。
• Barrett Reduction：通过预先计算倒数来优化模运算，特别是对于大型操作数。
• 蒙哥马利约简：在加密应用中高效地进行模乘法。

3.求幂

• 平方求幂：常见于整数幂，其中 $(O(\mathrm{lo\; g}n））$(O(logn)) 复杂性。
• 浮点求幂：对十进制底数和指数使用泰勒级数或对数/指数变换。

4.平方根和对数

• 牛顿法：常见于平方根近似。
• 泰勒/麦克劳林级数：用于高精度对数计算。

Go、Elixir 和 Node.js 缺少的算法

1. 缺乏高级乘法:

   • Go 的 math/big 对小整数使用经典乘法，对大整数使用 Karatsuba，但对于非常大的输入缺乏 Toom-Cook 或 FFT。
   • Elixir 和 Node.js 依赖于第三方库，而这些库通常缺乏 FFT 等先进技术。

2. 有限分区优化：

   • 如果没有 GMP 或 MPFR，Go、Elixir 和 Node.js 中的大多数实现都缺乏 Barrett 或 Montgomery 约简，依赖于较慢的迭代方法。

3. 不支持对数/指数函数:

   • 虽然 Python 的 mpmath 和 Java 的 BigDecimal 等库提供了这些功能，但 Go、Elixir 和 Node.js 缺乏对高级数学的原生大十进制支持。

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实现高精度算法的挑战

1. 表演

   • 实现 FFT 乘法等算法需要深入了解数值稳定性和缓存局部性优化。
   • 平衡速度与精度是很困难的；简单的实现可能比 GMP 等优化的实现慢几个数量级。

2. 精准处理

   • 确保除法和对数等运算的正确性需要仔细的舍入和错误传播处理。
   • 在模算术中实现精确缩放（例如 Barrett 约简）会增加复杂性。

3. 并发

   • 像 Go 和 Elixir 这样的语言是为并发系统设计的，但精密算术本质上是顺序的，需要仔细优化以避免瓶颈。

4. 内存管理

   • 任意精度算术需要动态分配内存，这使得 Go 和 Node.js 等垃圾收集语言的实现变得复杂。

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测量基准数据集

1. 算术精度测试

   • 验证操作，例如 $(0.10.2=0.3）$(0.1 0.2=0.3) 确保正确处理小数算术。
   • 测试边缘情况，例如， $(10^{100}÷10^{99}=10）$(10100÷1099=10) .

2. 性能基准

   • 使用具有不同大小数字的数据集，例如， $(10^{10}）$(1010） , $(10^{100}）$(10100） ， 和 $(10^{1000})$(101000） ，测试可扩展性。
   • 将运行时和内存使用情况与 GMP 等库进行比较。

3. 真实世界财务数据

   • 执行数千个周期的高精度复利计算。
   • 使用严格的舍入规则验证货币换算和税收计算。

4. 专业数学测试

   • 计算 $(\pi )$(π) 或者 $(\sqrt{2})$(2​） 精确到数百万位小数。
   • 使用 mpmath 等已知库作为参考，以超越数执行基准测试。

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如何集成这些语言中缺失的功能

1. 将 FFI 用于 GMP 等图书馆

   • 像 Go 和 Node.js 这样的语言可以通过 FFI 集成 GMP，但这会引入跨语言调用的性能开销。

2. 构建远程服务

   • 使用 gRPC 或 Thrift 使用 Python、Java 或 C 创建高精度服务。
   • 确保服务为所有必需的操作提供 API（例如加法、乘法、平方根等）。

3. 第三方库

   • 使用社区支持的库（例如 Go 中的 shopspring/decimal 和 cockroachdb/apd 或 Node.js 中的decimal.js）作为起点。

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PHP 中的大十进制支持

本地支持

PHP 的标准库中不包含本机大十进制算术。它依赖 bcmath（二进制计算器）扩展或 gmp 扩展来进行高精度整数和小数算术：

1. BCMath：
   • 专为任意精度算术而设计。
   • 支持基本运算（加、减、乘、除、模和幂）。
   • 缺乏对平方根、对数或三角运算等高级函数的支持。
2. GMP：
   • 为整数提供任意精度算术，但对小数的支持有限。

第三方库

• BrickMath：PHP 中任意精度算术的现代库，支持小数和整数。
• php-decimal：实现类似于Python的decimal模块或Ruby的BigDecimal的高精度十进制运算。

挑战

• 性能：
  • 与 C 中的 GMP 或 Boost Multi precision 相比，PHP 的 bcmath 速度较慢。
  • 处理非常大或高精度的数字可能会导致性能瓶颈。
• 有限的高级功能：
  • 大多数 PHP 库不提供 FFT 或 Karatsuba 等高级算法，而是依赖于基本实现。

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结论

Python、Java 和 C 等语言擅长通过成熟的库支持任意精度算术。然而，对于像 Go、Node.js 或 Elixir 这样的语言，通过 FFI 集成外部库或利用基于 RPC 的服务是一个实用的解决方案。这些方法确保这些语言的应用程序能够满足金融和科学研究等领域所需的高精度和正确性，而不受其本机库的限制。

通过结合多种语言的优势，开发人员可以构建高效且精确的可靠系统。

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这是使用 GMP 和 MPFR 库 以及 CMake 创建 C 项目的分步指南。

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1. 文件夹结构

gmp-mpfr-project/
├── CMakeLists.txt
├── src/
│   ├── main.cpp
└── build/ (Generated by CMake)

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2. CMakeLists.txt

cmake_minimum_required(VERSION 3.10)
project(GMP_MPFR_Example)

# Set C++ standard
set(CMAKE_CXX_STANDARD 17)
set(CMAKE_CXX_STANDARD_REQUIRED ON)

# Find GMP library
find_package(GMP REQUIRED)
find_package(MPFR REQUIRED)

# Include directories for GMP and MPFR
include_directories(${GMP_INCLUDE_DIR} ${MPFR_INCLUDE_DIR})

# Add executable
add_executable(gmp_mpfr_example src/main.cpp)

# Link libraries
target_link_libraries(gmp_mpfr_example PRIVATE ${GMP_LIBRARIES} ${MPFR_LIBRARIES})

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3. src/main.cpp

一个简单的示例，演示 GMP 和 MPFR 库的基本用法。

#include <iostream>
#include <gmp.h>
#include <mpfr.h>

int main() {
    // GMP example: Factorial computation
    mpz_t factorial;
    mpz_init(factorial);
    mpz_fac_ui(factorial, 20); // Compute 20!
    std::cout << "20! = " << mpz_get_str(nullptr, 10, factorial) << std::endl;
    mpz_clear(factorial);

    // MPFR example: High-precision computation
    mpfr_t pi;
    mpfr_init2(pi, 256); // 256-bit precision
    mpfr_const_pi(pi, MPFR_RNDN); // Compute pi
    std::cout << "Pi = ";
    mpfr_out_str(stdout, 10, 0, pi, MPFR_RNDN);
    std::cout << std::endl;
    mpfr_clear(pi);

    return 0;
}

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4. 构建和运行步骤

一个。安装库

确保已安装 GMP 和 MPFR 库。在 Linux 上：

sudo apt update
sudo apt install libgmp-dev libmpfr-dev

b.使用 CMake 配置和构建

cd gmp-mpfr-project
mkdir build
cd build
cmake ..
make

c.运行示例

./gmp_mpfr_example

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输出

20! = 2432902008176640000
Pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751

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