近似搜索如何在没有严格单调性的情况下找到解决方案？

近似搜索如何工作

为了理解近似搜索的工作原理，让我们考虑一下经典二分搜索的类比。在二分搜索中，我们通过重复将搜索间隔一分为二来搜索排序列表中的特定值。然而，近似搜索与二分搜索不同，它不需要我们搜索的函数严格单调，这意味着它可以处理递增和递减的值。

算法概述：

1. 定义搜索间隔：指定初始间隔 [a0, a1]
2. 探测点： 使用步长 da 在区间 [a0, a1] 内均匀分布点 x(i)。
3. 计算误差 (ee)： 对于每个点 x(i)，计算函数输出之间的误差或距离 ee y=f(x(i)) 和目标值 y0。
4. 确定解点： 跟踪误差 ee 最小的点 aa。
5. 递归重复：当所有点x(i)都被探测过或者达到一定的精度时停止搜索。如果没有，则通过缩小搜索间隔和细化步长 da 来递归地提高精度。

示例实现：

在 C 中，我们可以使用下面的类来实现近似搜索：

class approx {
public:
    double a, aa, a0, a1, da, *e, e0;
    int i, n;
    bool done, stop;
};

使用这个类：

approx aa;
double ee, x, y, x0, y0;
aa.init(0.0, 10.0, 0.1, 6, &ee);
while (!aa.done) {
    x = aa.a;
    y = f(x);
    ee = fabs(y - y0);
    aa.step();
}

关键注意事项：

• 必须仔细选择搜索间隔 [a0, a1] 以包含解决方案，同时最小化其宽度。
• 应适当选择初始步长da，以避免在平衡时丢失局部最小值或最大值
• 近似搜索可用于解决各种问题，包括拟合多项式、查找未知参数以及求解超越方程。

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