近似搜索如何有效地查找非单调函数的值和参数？

函数拟合和方程求解的近似值和参数

了解近似搜索的内部工作原理对于解决与拟合多项式、参数函数和超越相关的问题至关重要方程。即使在处理不严格单调的函数时，这种方法也可以让您有效地估计值和参数。

近似搜索的工作原理

近似搜索模仿二分搜索的概念，但它并不不强加搜索函数严格单调的约束。它的工作原理如下：

1. 探测均匀分布在已知区间上的样本点。
2. 计算函数值 f(x) 之间的误差或距离每个样本点和一个目标值y0。
3. 识别误差最小的样本点（表示为aa)。
4. 在以 aa 为中心的较窄间隔内重复步骤 1-3 以提高精度。
5. 继续递归，直到达到所需的精度或达到最大递归计数。

主要特点

• 处理能力非单调函数或不严格函数的函数。
• 提供可靠且高效的算法，复杂度为 O(log(n))。
• 允许用户定义的精度和误差计算。

实现

这是近似值的简化 C 实现search:

class approx {
public:
    void init(double a0, double a1, double da, int n, double *e) {
        a0 = min(a0, a1); a1 = max(a0, a1); // Ensure a0 < a1
        da = abs(da);
        this->n = n; e = e;
        e0 = -1.0; i = 0; a = a0; aa = a0;
        done = false; stop = false;
    }
    void step() {
        if ((e0 < 0.0) || (e0 > *e)) { e0 = *e; aa = a; }  // Better solution
        if (stop) {
            i++;
            if (i >= n) { done = true; a = aa; return; }  // Final solution
            a0 = aa - fabs(da);
            a1 = aa + fabs(da);
            a = a0; da *= 0.1;
            a0 += da; a1 -= da;
            stop = false;
        } else {
            a += da;
            if (a > a1) { a = a1; stop = true; }  // Next point
        }
    }
};

使用示例

假设您想要找到 x 的值，使得 y = f(x) 最接近 y0。以下是如何使用 approx 类：

approx aa;
double ee, x, y, x0, y0 = your_target_value;
for (aa.init(0.0, 10.0, 0.1, 6, &ee); !aa.done; aa.step()) {
    x = aa.a;
    y = f(x);
    ee = abs(y - y0);
}

优点

• 提高超越方程和曲线拟合的解的准确性。
• 处理非单调函数和允许多种解决方案。
• 高效的递归方法

注意事项

• 选择合适的搜索区间对于效率至关重要。
• 初始步长 da 影响速度和准确性之间的权衡。
• 递归深度会影响高度复杂问题的性能。

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