什么是特征值和特征值？

线性代数是高级数学基础，并且在数据科学，机器学习，计算机视觉和工程等领域至关重要。特征向量通常与特征值配对，是一个核心概念。本文清楚地解释了特征向量及其意义。

目录：

• 什么是特征向量？
• 直观地了解特征向量
• 特征向量的重要性
• 计算特征向量
• 实践中的特征向量：一个例子
• Python实施
• 可视化特征向量
• 概括
• 常见问题

什么是特征向量？

特征向量是与方形矩阵相关的特殊向量。当矩阵转换特征向量时，特征向量的方向保持不变。仅通过称为特征值的标量值改变了其比例。

从数学上讲，对于平方矩阵A ，非零向量V是特征向量，如果：

在哪里：

• A是矩阵。
• V是特征向量。
• λ（lambda）是特征值（标量）。

直观地了解特征向量

考虑一个代表线性转换的矩阵A （例如，拉伸，旋转或缩放2D空间）。将此转换应用于向量V ：

• 大多数向量会改变方向和幅度。
• 但是，某些矢量仅在尺度（幅度）上变化，而不是方向。这些是特征向量。

例如：

• λ> 1：特征向量已拉伸。
• 0
• λ= 0：特征向量映射到零向量。
• λ

特征向量的重要性

特征向量在各种应用中至关重要：

1. 主成分分析（PCA）：用于降低维度的特征向量定义主成分，捕获最大方差和识别关键特征。
2. Google的Pagerank：该算法使用链接矩阵的特征向量来确定网页的重要性。
3. 量子力学：特征向量和特征值描述了系统状态和可测量特性（例如能量水平）。
4. 计算机视觉：用于面部识别（例如，特征法），用作图像作为关键特征的线性组合。
5. 振动分析（工程）：特征向量描述了结构（桥梁，建筑物）中的振动模式。

计算特征向量

找到特征向量：

1. 特征值方程：从av = λV开始，重写为（ a -λi ） v = 0，其中i是身份矩阵。
2. 求解特征值：计算det（ a -λi ）= 0以找到特征值λ。
3. 查找特征向量：将每个特征值λ替换为（ a - λi ） v = 0并求解v 。

实践中的特征向量：一个例子

给定矩阵：

1. 查找特征值λ： solve det（ a - λi ）= 0。
2. 查找特征向量：将每个λ替换为（ a - λi ） v = 0并求解v 。

Python实施

使用numpy：

导入numpy作为NP

a = np.Array（[[[2，1]，[1，2]]）
特征值，特征向量= np.linalg.eig（a）
打印（“特征值：”，特征值）
打印（“特征向量：”，特征向量）

可视化特征向量

matplotlib可以可视化特征向量的变化。 （简短而省略了代码，但原始代码提供了一个很好的示例）。

概括

特征向量是具有广泛应用的至关重要的线性代数概念。他们揭示了矩阵转换如何影响特定方向，从而使它们在各个领域至关重要。 Python库简化了特征向量计算和可视化。

常见问题

• 问题1：特征值与特征向量？特征值是指示转换过程中特征向量的缩放因子的标量。特征向量是其方向保持不变的向量。
• Q2：所有矩阵都有特征向量吗？不，只有方形矩阵可以拥有它们，并且一些方形矩阵可能缺乏完整的套件。
• Q3：特征向量是独一无二的吗？不，特征向量的任何标量倍数也是特征向量。
• 问题4：机器学习中的特征向量？用于降低维度的PCA。
• Q5：如果特征值为零，该怎么办？相应的特征向量映射到零矢量，通常表明单数矩阵。

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