很多时候，我们需要对一个图像的局部进行调整，这个调整必须是平滑的和可交互式的。Photoshop液化滤镜中向前变形工具就是这样一个工具，很好用。类似工具有美图秀秀的瘦脸功能。本文描述这类工具背后的原理与算法。
先以美图秀秀为例子，简单描述下向前变形功能。
首先，用鼠标控制一个圆形的选区。
然后，点击鼠标左键，向某个方向拖动，就可以产生光滑的向前变形图片：
通过这个工具，可对图片的局部进行调整，自由度比较大，因此比较实用。
下面讲讲这类算法的原理。
上图中，阴影圆环代表一个半径为 rmax 的圆形选区。其中，C点是鼠标点下时的点，也就是圆形选区的圆心。鼠标从C拖到M，致使图像中的点U变换到点X。所以，关键问题是找到上面这个变换的逆变换——给出点X时，可以求出它变换前的坐标U（精确的浮点坐标），然后用变化前图像在U点附近的像素进行插值，求出U的像素值。如此对圆形选区内的每一个像素进行求值，便可得出变换后的图像。
Andreas Gustafsson 的 Interactive Image Warping 一文给出了这一逆变换公式：
这个变形算法的特点是：
1 只有圆形选区内的图像才进行变形
2 越靠近圆心，变形越大，越靠近边缘的变形越小，边界处无变形
3 变形是平滑的
具体实现步骤如下：
1 对于圆形选区里的每一像素，取出其R,G,B各分量，存入3个Buff（rBuff, gBuff, bBuff）中（也即，三个Buff分别存储选区内的原图像的R,G,B三个通道的数值）
2 对于圆形选区里的每一个像素X，
2.1 根据上面的公式，算出它变形前的位置坐标精确值U
2.2 用插值方法，根据U的位置，和rBuff, gBuff, bBuff中的数值，计算U所在位置处的R,G,B等分量
2.3 将R，G，B等分量合成新的像素，作为X处的像素值
代码我就不贴了，真正对这功能有需求的，根据上面的文字可以很容易写出来——解决这类问题，重要的不是代码，而是思路和算法。
下面是我的实现演示：
上图中，左上角是原图，右下角是变形后的图。红色圆圈圈起来的是变形区域。可以看见，变形很光滑。我在上面的算法中引入了变形强度s(strength)，上图中strength=20。
引入strength，公式就得修改下，下面是我的修改版公式：
看看结果——
原图：
变形，strength=20：
变形，strength=120：
photoshop与美图秀秀里这个功能可以连续的进行变形。我猜测，这个连续的变形是由一系列基础变形串联起来的，也就是，鼠标从M0拖到Mn位置，并不是只计算M0->Mn这个变换，而是在鼠标轨迹上引入一系列中间点，M1,M2…Mn-1，然后，对图像进行M0->M1,M1->M2,…,Mn-1->Mn等一系列变换。
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