Python怎么实现图的广度和深度优先路径搜索算法

前言

图是一种抽象数据结构，本质和树结构是一样的。

图与树相比较，图具有封闭性，可以把树结构看成是图结构的前生。如果将兄弟节点或子节点之间的水平连接应用于树形结构，则可以创建一个图形结构。

树适合描述从上向下的一对多的数据结构，如公司的组织结构。

图适合描述更复杂的多对多数据结构，如复杂的群体社交关系。

1. 图理论

借助计算机解决现实世界中的问题时，除了要存储现实世界中的信息，还需要正确地描述信息之间的关系。

如在开发地图程序时，需要在计算机中正确模拟出城市与城市、或城市中各道路之间的关系图。只有在这个基础上，才能用算法计算出从一个城市到另一个城市，或从指定起点到目标点的最佳路径。

类似的还有航班路线图、火车线路图、社交交系图。

图结构可以有效地反映现实世界中如上所述信息之间的复杂关系。以此可使用算法方便的计算出如航班线路中的最短路径、如火车线路中的最佳中转方案，如社交圈中谁与谁关系最好、婚姻网中谁与谁最般配……

1.1 图的概念

顶点：顶点也称为节点，可认为图就是顶点组成的集合。顶点本身是有数据含义的，所以顶点都会带有附加信息，称作"有效载荷"。

顶点可以是现实世界中的城市、地名、站名、人……

边： 图中的边用来描述顶点之间的关系。边可以有方向也可以没有方向，有方向的边又可分为单向边和双向边。

如下图（项点1）到（顶点2）之间的边只有一方向（箭头所示为方向），称为单向边。类似现实世界中的单向道。

（顶点1）到（顶点2）之间的边有两个方向（双向箭头），称为双向边。 城市与城市之间的关系为双向边。

权重： 边上可以附加值信息，附加的值称为权重。有权重的边用来描述一个顶点到另一个顶点的连接强度。

如现实生活中的地铁路线中，权重可以描述两个车站之间时间长度、公里数、票价……

边描述的是顶点之间的关系，权重描述的是连接的差异性。

路径：

先了解现实世界中路径概念

如：从一个城市开车去另一个城市，就需要先确定好路径。也就是 从出发地到目的地要经过那些城市？要走多少里程？

可以说路径是由边连接的顶点组成的序列。因路径不只一条，所以，从一个项点到另一个项点的路径描述也不指一种。

在图结构中如何计算路径？

• 无权重路径的长度是路径上的边数。

• 有权重路径的长度是路径上的边的权重之和。

如上图从（顶点1）到（顶点3）的路径长度为 8。

环： 从起点出发，最后又回到起点（终点也是起点）就会形成一个环，环是一种特殊的路径。如上 (V1, V2, V3, V1) 就是一个环。

图的类型：

综上所述，图可以分为如下几类：

• 有向图： 边有方向的图称为有向图。

• 无向图： 边没有方向的图称为无向图。

• 加权图： 边上面有权重信息的图称为加权图。

• 无环图： 没有环的图被称为无环图。

• 有向无环图： 没有环的有向图，简称 DAG。

1.2 定义图

根据图的特性，图数据结构中至少要包含两类信息：

所有顶点构成集合信息，这里用 V 表示（如地图程序中，所有城市构在顶点集合）。

所有边构成集合信息，这里用 E 表示（城市与城市之间的关系描述）。

如何描述边？

边用来表示项点之间的关系。所以一条边可以包括 3 个元数据（起点，终点，权重）。当然，权重是可以省略的，但一般研究图时，都是指的加权图。

如果用 G 表示图，则 G = (V, E)。每一条边可以用二元组 (fv, ev) 也可以使用 三元组 （fv,ev,w） 描述。

fv 表示起点，ev 表示终点。且 fv，ev 数据必须引用于 V 集合。

如上的图结构可以描述如下：

# 5 个顶点
V={A0,B1,C2,D3,E4}
# 7 条边
E={ (A0,B1,3),(B1,C2,4),(C2,D3,6),(C2,E4,1),(D3,E4,2),(A0,D3,5),(E4,B1,7)}

1.3 图的抽象数据结构

图的抽象数据描述中至少要有的方法：

• Graph ( ) ： 用来创建一个新图。

• add_vertex( vert )：向图中添加一个新节点，参数应该是一个节点类型的对象。

• add_edge(fv，tv )：在 2 个项点之间建立起边关系。

• add_edge(fv，tv，w )：在 2 个项点之间建立起一条边并指定连接权重。

• find_vertex( key ): 根据关键字 key 在图中查找顶点。

• find_vertexs( )：查询所有顶点信息。

• find_path( fv,tv)：查找.从一个顶点到另一个顶点之间的路径。

2. 图的存储实现

图的存储实现主流有 2 种：邻接矩阵和链接表，本文主要介绍邻接矩阵。

2.1 邻接矩阵

使用二维矩阵（数组）存储顶点之间的关系。

如 graph[5][5] 可以存储 5 个顶点的关系数据，行号和列号表示顶点，第 v 行的第 w 列交叉的单元格中的值表示从顶点 v 到顶点 w 的边的权重，如 grap[2][3]=6 表示 C2 顶点和 D3 顶点的有连接（相邻），权重为 6

相邻矩阵的优点就是简单，可以清晰表示那些顶点是相连的。由于并非每对顶点之间都存在连接，因此矩阵中存在许多未被利用的空间，通常被称为“稀疏矩阵”。

只有当每一个顶点和其它顶点都有关系时，矩阵才会填满。如果图结构的关系不是太复杂，使用这种结构存储图数据会浪费大量的空间。

邻接矩阵适合表示关系复杂的图结构，如互联网上网页之间的链接、社交圈中人与人之间的社会关系……

2.2 编码实现邻接矩阵

因顶点本身有数据含义，需要先定义顶点类型。

顶点类：

"""
节（顶）点类
"""
class Vertex:
    def __init__(self, name, v_id=0):
        # 顶点的编号
        self.v_id = v_id
        # 顶点的名称
        self.v_name = name
        # 是否被访问过:False 没有 True:有
        self.visited = False

    # 自我显示
    def __str__(self):
        return '[编号为 {0}，名称为 {1} ] 的顶点'.format(self.v_id, self.v_name)

顶点类中 v_id 和 v_name 很好理解。为什么要添加一个 visited？

这个变量用来记录顶点在路径搜索过程中是否已经被搜索过，避免重复搜索计算。

图类：图类的方法较多，这里逐方法介绍。

初始化方法

class Graph:
    """
    nums:相邻矩阵的大小
    """

    def __init__(self, nums):
        # 一维列表，保存节点，最多只能有 nums 个节点
        self.vert_list = []
        # 二维列表，存储顶点及顶点间的关系(权重)
        # 初始权重为 0 ，表示节点与节点之间还没有建立起关系
        self.matrix = [[0] * nums for _ in range(nums)]
        # 顶点个数
        self.v_nums = 0
        # 使用队列模拟队列或栈，用于广度、深度优先搜索算法
        self.queue_stack = []
        # 保存搜索到的路径
        self.searchPath = []
        
    # 暂省略……

初始化方法用来初始化图中的数据类型：

一维列表 vert_list 保存所有顶点数据。

二维列表 matrix 保存顶点与顶点之间的关系数据。

queue_stack 使用列表模拟队列或栈，用于后续的广度搜索和深度搜索。

怎么使用列表模拟队列或栈？

列表有 append()、pop() 2 个很价值的方法。

append() 用来向列表中添加数据，且每次都是从列表最后面添加。

pop() 默认从列表最后面删除且弹出数据， pop(参数) 可以提供索引值用来从指定位置删除且弹出数据。

使用 append() 和 pop() 方法就能模拟栈，从同一个地方进出数据。

使用 append() 和 pop(0) 方法就能模拟队列，从后面添加数据，从最前面获取数据

searchPath ： 用来保存使用广度或深度优先路径搜索中的结果。

添加新节（顶）点方法：

    """
    添加新顶点
    """
    def add_vertex(self, vert):
        if vert in self.vert_list:
            # 已经存在
            return
        if self.v_nums >= len(self.matrix):
            # 超过相邻矩阵所能存储的节点上限
            return
        # 顶点的编号内部生成
        vert.v_id = self.v_nums
        self.vert_list.append(vert)
        # 数量增一
        self.v_nums += 1

上述方法注意一点，节点的编号由图内部逻辑提供，便于节点编号顺序的统一。

添加边方法

此方法是邻接矩阵表示法的核心逻辑。

  '''
    添加节点与节点之间的边，
    如果是无权重图，统一设定为 1 
    '''
    def add_edge(self, from_v, to_v):
        # 如果节点不存在
        if from_v not in self.vert_list:
            self.add_vertex(from_v)
        if to_v not in self.vert_list:
            self.add_vertex(to_v)
        # from_v 节点的编号为行号，to_v 节点的编号为列号
        self.matrix[from_v.v_id][to_v.v_id] = 1

    '''
    添加有权重的边
    '''
    def add_edge(self, from_v, to_v, weight):
        # 如果节点不存在
        if from_v not in self.vert_list:
            self.add_vertex(from_v)
        if to_v not in self.vert_list:
            self.add_vertex(to_v)
        # from_v 节点的编号为行号，to_v 节点的编号为列号
        self.matrix[from_v.v_id][to_v.v_id] = weight

添加边信息的方法有 2 个，一个用来添加无权重边，一个用来添加有权重的边。

查找某节点

使用线性查找法从节点集合中查找某一个节点。

    '''
    根据节点编号返回节点
    '''
    def find_vertex(self, v_id):
        if v_id >= 0 or v_id <= self.v_nums:
            # 节点编号必须存在
            return [tmp_v for tmp_v in self.vert_list if tmp_v.v_id == v_id][0]

查询所有节点

  '''
    输出所有顶点信息
    '''
    def find_only_vertexes(self):
        for tmp_v in self.vert_list:
            print(tmp_v)

此方法仅为了查询方便。

查询节点之间的关系

    '''
    迭代节点与节点之间的关系（边）
    '''
    def find_vertexes(self):
        for tmp_v in self.vert_list:
            edges = self.matrix[tmp_v.v_id]
            for col in range(len(edges)):
                w = edges[col]
                if w != 0:
                    print(tmp_v, '和', self.vert_list[col], '的权重为：', w)

测试代码：

if __name__ == "__main__":
    # 初始化图对象
    g = Graph(5)
    # 添加顶点
    for _ in range(len(g.matrix)):
        v_name = input("顶点的名称（ q 为退出）：")
        if v_name == 'q':
            break
        v = Vertex(v_name)
        g.add_vertex(v)

    # 节点之间的关系
    infos = [(0, 1, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 4), (2, 3, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 7)]
    for i in infos:
        v = g.find_vertex(i[0])
        v1 = g.find_vertex(i[1])
        g.add_edge(v, v1, i[2])
    # 输出顶点及边a
    print("-----------顶点与顶点关系--------------")
    g.find_vertexes()
    '''
    输出结果：
    顶点的名称（ q 为退出）：A
    顶点的名称（ q 为退出）：B
    顶点的名称（ q 为退出）：C
    顶点的名称（ q 为退出）：D
    顶点的名称（ q 为退出）：E
    [编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 3
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 5
[编号为 1，名称为 B ] 的顶点 和 [编号为 2，名称为 C ] 的顶点 的权重为： 4
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 6
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 1
[编号为 3，名称为 D ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 2
[编号为 4，名称为 E ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 7
    '''

3. 搜索路径

在图中经常做的操作，就是查找从一个顶点到另一个顶点的路径。如怎么查找到 A0 到 E4 之间的路径长度：

从人的直观思维角度查找一下，可以找到如下路径：

• {A0，B1，C2，E4}路径长度为 8。

• {A0，D3，E4} 路径长度为 7。

• {A0，B1，C2，D3，E4} 路径长度为 15。

在路径查找时，人的思维具有知识性和直观性特点，因此不存在所谓的尝试或碰壁问题。而计算机是试探性思维，就会出现这条路不通，再找另一条路的现象。

所以路径算法中常常会以错误为代价，在查找过程中会走一些弯路。常用的路径搜索算法有 2 种：

• 广度优先搜索

• 深度优先搜索

3.1 广度优先搜索

先看一下广度优先搜索的示意图：

广度优先搜索的基本思路：

• 确定出发点，本案例是 A0 顶点。

• 以出发点相邻的顶点为候选点，并存储至队列。

• 从队列中每拿出一个顶点后，再把与此顶点相邻的其它顶点做为候选点存储于队列。

• 不停重复上述过程，至到找到目标顶点或队列为空。

使用广度搜索到的路径与候选节点进入队列的先后顺序有关系。如第 1 步确定候选节点时 B1 和 D3 谁先进入队列，对于后面的查找也会有影响。

上图使用广度搜索可找到 A0~E4 路径是：

{A0，B1，D3，C2，E4}

其实 {A0，B1，C2，E4} 也是一条有效路径，有可能搜索不出来，这里因为搜索到 B1 后不会马上搜索 C2，因为 B3 先于 C2 进入，广度优先搜索算法只能保证找到路径，而不能保存找到最佳路径。

编码实现广度优先搜索：

广度优先搜索需要借助队列临时存储选节点，本文使用列表模拟队列。

在图类中实现广度优先搜索算法的方法：

class Graph():
    
    # 省略其它代码

    '''
    广度优先搜索算法
    '''
    def bfs(self, from_v, to_v):
        # 查找与 fv 相邻的节点
        self.find_neighbor(from_v)
        # 临时路径
        lst_path = [from_v]
        # 重复条件：队列不为空
        while len(self.queue_stack) != 0:
            # 从队列中一个节点（模拟队列）
            tmp_v = self.queue_stack.pop(0)
            # 添加到列表中
            lst_path.append(tmp_v)
            # 是不是目标节点
            if tmp_v.v_id == to_v.v_id:
                self.searchPath.append(lst_path)
                print('找到一条路径', [v_.v_id for v_ in lst_path])
                lst_path.pop()
            else:
                self.find_neighbor(tmp_v)
    '''
    查找某一节点的相邻节点，并添加到队列（栈）中
    '''
    def find_neighbor(self, find_v):
        if find_v.visited:
            return
        find_v.visited = True
        # 找到保存 find_v 节点相邻节点的列表
        lst = self.matrix[find_v.v_id]
        for idx in range(len(lst)):
            if lst[idx] != 0:
                # 权重不为 0 ，可判断相邻
                self.queue_stack.append(self.vert_list[idx])

广度优先搜索过程中，需要随时获取与当前节点相邻的节点，find_neighbor() 方法的作用就是用来把当前节点的相邻节点压入队列中。

测试广度优先搜索算法：

if __name__ == "__main__":
    # 初始化图对象
    g = Graph(5)
    # 添加顶点
    for _ in range(len(g.matrix)):
        v_name = input("顶点的名称（ q 为退出）：")
        if v_name == 'q':
            break
        v = Vertex(v_name)
        g.add_vertex(v)

    # 节点之间的关系
    infos = [(0, 1, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 4), (2, 3, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 7)]
    for i in infos:
        v = g.find_vertex(i[0])
        v1 = g.find_vertex(i[1])
        g.add_edge(v, v1, i[2])

    print("----------- 广度优先路径搜索--------------")
    f_v = g.find_vertex(0)
    t_v = g.find_vertex(4)
    g.bfs(f_v,t_v)
    '''
    输出结果
    顶点的名称（ q 为退出）：A
    顶点的名称（ q 为退出）：B
    顶点的名称（ q 为退出）：C
    顶点的名称（ q 为退出）：D
    顶点的名称（ q 为退出）：E


    ----------- 广度优先路径搜索--------------
    找到一条路径 [0, 1, 3, 2, 4]
    找到一条路径 [0, 1, 3, 2, 3, 4]
    '''

使用递归实现广度优先搜索算法：

   '''
    递归方式实现广度搜索
    '''
    def bfs_dg(self, from_v, to_v):
        self.searchPath.append(from_v)
        if from_v.v_id != to_v.v_id:
            self.find_neighbor(from_v)
        if len(self.queue_stack) != 0:
            self.bfs_dg(self.queue_stack.pop(0), to_v)

3.2 深度优先搜索算法

先看一下深度优先算法的示意图。

深度优先搜索算法和广度优先搜索算法不同的地方在于：深度优先搜索算法将候选节点放在堆栈中。因栈是先进后出，所以，搜索到的节点顺序不一样。

使用循环实现深度优先搜索算法：

深度优先搜索算法需要用到栈，本文使用列表模拟。

    '''
    深度优先搜索算法
    使用栈存储下一个需要查找的节点
    '''
    def dfs(self, from_v, to_v):
        # 查找与 from_v 相邻的节点
        self.find_neighbor(from_v)
        # 临时路径
        lst_path = [from_v]
        # 重复条件：栈不为空
        while len(self.queue_stack) != 0:
            # 从栈中取一个节点（模拟栈）
            tmp_v = self.queue_stack.pop()
            # 添加到列表中
            lst_path.append(tmp_v)
            # 是不是目标节点
            if tmp_v.v_id == to_v.v_id:
                self.searchPath.append(lst_path)
                print('找到一条路径:', [v_.v_id for v_ in lst_path])
                lst_path.pop()
            else:
                self.find_neighbor(tmp_v)

测试：

if __name__ == "__main__":
    # 初始化图对象
    g = Graph(5)
    # 添加顶点
    for _ in range(len(g.matrix)):
        v_name = input("顶点的名称（ q 为退出）：")
        if v_name == 'q':
            break
        v = Vertex(v_name)
        g.add_vertex(v)

    # 节点之间的关系
    infos = [(0, 1, 3), (0, 3, 5), (1, 2, 4), (2, 3, 6), (2, 4, 1), (3, 4, 2), (4, 1, 7)]
    for i in infos:
        v = g.find_vertex(i[0])
        v1 = g.find_vertex(i[1])
        g.add_edge(v, v1, i[2])
    # 输出顶点及边a
    print("-----------顶点与顶点关系--------------")
    g.find_vertexes()

    print("----------- 深度优先路径搜索--------------")
    f_v = g.find_vertex(0)
    t_v = g.find_vertex(4)
    g.dfs(f_v, t_v)
    '''
    输出结果
    顶点的名称（ q 为退出）：A
    顶点的名称（ q 为退出）：B
    顶点的名称（ q 为退出）：C
    顶点的名称（ q 为退出）：D
    顶点的名称（ q 为退出）：E
    -----------顶点与顶点关系--------------
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 3
[编号为 0，名称为 A ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 5
[编号为 1，名称为 B ] 的顶点 和 [编号为 2，名称为 C ] 的顶点 的权重为： 4
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 3，名称为 D ] 的顶点 的权重为： 6
[编号为 2，名称为 C ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 1
[编号为 3，名称为 D ] 的顶点 和 [编号为 4，名称为 E ] 的顶点 的权重为： 2
[编号为 4，名称为 E ] 的顶点 和 [编号为 1，名称为 B ] 的顶点 的权重为： 7
    ----------- 深度优先路径搜索--------------
    找到一条路径: [0, 3, 4]
    找到一条路径: [0, 3, 1, 2, 4]
    '''

使用递归实现深度优先搜索算法：

    '''
    递归实现深度搜索算法
    '''
    def def_dg(self, from_v, to_v):
        self.searchPath.append(from_v)
        if from_v.v_id != to_v.v_id:
            # 查找与 from_v 节点相连的子节点
            lst = self.find_neighbor_(from_v)
            if lst is not None:
                for tmp_v in lst[::-1]:
                    self.def_dg(tmp_v, to_v)
    """
    查找某一节点的相邻节点，以列表方式返回
    """
    def find_neighbor_(self, find_v):
        if find_v.visited:
            return
        find_v.visited = True
        # 查找与 find_v 节点相邻的节点
        lst = self.matrix[find_v.v_id]
        return [self.vert_list[idx] for idx in range(len(lst)) if lst[idx] != 0]

递归实现时，不需要使用全局栈，只需要获到当前节点的相邻节点便可。

以上是Python怎么实现图的广度和深度优先路径搜索算法的详细内容。更多信息请关注PHP中文网其他相关文章！