检查是否可能从原点到达给定圆的周长上的任意点

圆的周长可以定义为圆的外边界。它是圆的周长。圆周围的每个点都遵循某些属性，如下所示 -

• 点 (x,y) 位于圆内，使得 $mathrm{x^2 + y^2

• 点 (x,y) 位于圆上，使得 $mathrm{x^2 + y^2 = R^2}$

• 点 (x,y) 位于圆外，使得 $mathrm{x^2 + y^2 > R^2}$

其中 R = 圆的半径。

问题陈述

给定一个表示一系列移动（L、R、U、D）的字符串 S 和一个表示圆半径的整数 R。检查是否可以通过选择从S开始的任何移动子序列来到达以原点为半径为R的圆的圆周上的任何点。每个移动的操作如下所示，

• L = 减少 x 坐标

• R = 增量 x 坐标

• U = y 坐标增量

• D = 递减 y 坐标

示例 1

输入

S = “RURDLR”
R = 2

输出

yes

说明

选择子序列“RR” -

最初，(0, 0) + R -> (1, 0) + R -> (2, 0)。

周长可能为 2² + 02 = 4 = R²

示例 2

输入

S = “UUUUU”
R = 6

输出

no

说明

选择最大的子序列“UUUU” -

最初，(0, 0) + U -> (0, 1) + U -> (0, 2) + U -> (0, 3) + U -> (0, 4) + U -> (0, 5)。

不可能达到圆周，因为 0² + 5² = 25 R²

方法 1：暴力破解

问题的解决方法是找到字符串S的所有可能的子序列，然后检查每个子序列是否可以到达圆周。通过维护 x 和 y 的计数器来检查这些条件，其中 x 在每个 L 上递减并在每个 R 上递增。类似地，y 在每个 D 上递减并在每个 U 上递增。然后检查 x² + y² = R² 检查终点是否在圆周上。

伪代码

procedure subsequence (S, sub, vec):
   if S is empty
      add sub to vec
      return
   end if
   subsequence(S.substring(1), sub + S[0], vec)
   subsequence(S.substring(1), sub, vec)
end procedure

procedure checkSeq (S, R)
   x = 0
   y = 0
   for move in S do
      if move == 'L' then
         x = x - 1
      else if move == 'R' then
         x = x + 1
      else if move == 'U' then
         y = y + 1
      else if move == 'D' then
         y = y - 1
      end if
      if x^2 + y^2 = R^2 then
         return true
      end if
   end for
   return false
end procedure

procedure reachCircumference (S, R):
   v = []      
   subsequence(S, "", v)
   for str in v:
      if checkSeq(str, R)
      return "yes"
      end if
   return "no"
end procedure

示例：C++ 实现

在下面的程序中，创建字符串 S 的所有可能的子序列，并检查它们是否到达圆的圆周。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to create all the possible subsequence of string S
void subsequence(string S, string sub, vector<string> &vec){

   // Base Case
   if (S.empty()) {
      vec.push_back(sub);
      return;
   }
   
   // Subsequence including the character
   subsequence(S.substr(1), sub + S[0], vec);
   
   // Subsequence excluding the character
   subsequence(S.substr(1), sub, vec);
}

// Function to check if a given sequence of steps lead to the circumference of the circle with radius R
bool checkSeq(string S, int R){

   // Initialising centre of circle as (0, 0)
   int x = 0, y = 0;
   for (char move : S) {
      if (move == 'L') {
         x -= 1;
      } else if (move == 'R') {
         x += 1;
      } else if (move == 'U') {
         y += 1;
      } else if (move == 'D') {
         y -= 1;
      }
      
      // Check to find if (x, y) lie on circumference using the circle equation
      if (x*x + y*y == R*R) {
         return true;
      }
   }
   return false;
}

// function to check if any subsequence of string S leads to any point on the circumference of the circle
string reachCircumference(string S, int R){
   vector <string> v;
   string sub = "";
   
   // Storing all subsequence in vector v
   subsequence(S, sub, v);
   
   // Checking the condition for each subsequence
   for (auto str: v) {
      if(checkSeq(str, R)) {
         return "yes";
         break;
      }
   }
   return "no";
}

// Driver Code
int main(){
   string S = "RURDLR";
   int R = 2;
   cout << reachCircumference(S, R) << endl;
   return 0;
}

输出

yes

方法2：优化方法

解决该问题的一个有效方法是检查使用（L、R、U 或 D）的任意一对 x 和 y 的 x 和 y 的平方和是否等于半径的平方。

首先，我们计算每个步骤的最大出现次数，并检查是否有任何一个等于 R。如果不相等，则我们检查是否有任何数量的 L 或 R 以及 U 或 D 的对可以导致等于 R 的距离起源。

伪代码

procedure reachCircumference (S, R)
   cL = 0
   cR = 0
   cD = 0
   cU = 0
   for move in S do
if move == 'L' then
x = x - 1
else if move == 'R' then
x = x + 1
else if move == 'U' then
y = y + 1
else if move == 'D' then
y = y - 1
end if
if x^2 + y^2 = R^2 then
return true
end if
end for
   if max(max(cL, cR), max(cD, cU)) >= R
      return “yes”
   maxLR = max(cL, cR)
maxUD = max(cU, cD)
Initialise unordered map mp
sq = R * R
for i = 1 till i * i = sq
   if sq - i*i is not in the map
      if maxLR>= mp[sq - i * i] and maxUD >= i
         return “yes”
      end if
      if maxLR >= i && maxUD >= mp[sq - i * i]
         return “yes”
      end if
   end if
end for
return “no”
end procedure

下面是 C++ 实现，

在下面的程序中，我们使用映射来检查是否存在通向圆周长的子序列。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// Function to check if any subsequence of string S leads to any point on the circumference of the circle
string reachCircumference (string S, int R){

   // Counting total occurrenceof each L, R, U, D
   int cL = 0, cR = 0, cD = 0, cU = 0;
   for (char move : S) {
      if (move == 'L') {
         cL++;
      } else if (move == 'R') {
         cR++;
      } else if (move == 'U') {
         cU++;
      } else if (move == 'D') {
         cD++;
      }
   }
   
   // Checking for a path to circumference using only one type of move
   if (max(max(cL, cR), max(cD, cU)) >= R) {
      return "yes";
   }
   int maxLR = max(cL, cR), maxUD = max(cU, cD);
   unordered_map<int, int> mp;
   int sq = R * R;
   for (int i = 1; i * i <= sq; i++) {
      mp[i * i] = i;
      if (mp.find(sq - i * i) != mp.end()) {
      
         // Checking if it is possible to reach (± mp[r_square - i*i], ± i)
         if (maxLR>= mp[sq - i * i] && maxUD >= i)
            return "yes";
            
         // Checking if it is possible to reach (±i, ±mp[r_square-i*i])
         if (maxLR >= i && maxUD >= mp[sq - i * i])
            return "yes";
      }
   }
   return "no";
}

// Driver Code
int main(){
   string S = "RURDLR";
   int R = 5;
   cout << reachCircumference(S, R) << endl;
   return 0;
}

输出

no

结论

总之，为了找出是否可以使用字符串 S 中的步骤子序列来获得以原点为中心的圆的周长，可以使用上述任何方法。第二种方法是更快的方法，但使用额外的空间，而第一种方法是强力方法，效率不是很高，但易于理解。

以上是检查是否可能从原点到达给定圆的周长上的任意点的详细内容。更多信息请关注PHP中文网其他相关文章！