制作莫比乌斯环，最少需要多长纸带？50年来的谜题被解开了

自己动手做过莫比乌斯带吗？

莫比乌斯带是一种奇特的数学结构。要构造一个这样美丽的单面曲面其实非常简单，即使是小孩子也可以轻松完成。你只需要取一张纸带，扭曲一次，然后将两端粘在一起。然而，这样容易制作的莫比乌斯带却有着复杂的性质，长期吸引着数学家们的兴趣。

最近，研究人员一直被一个看似简单的问题困扰着，那就是关于制作莫比乌斯带所需纸带的最短长度？布朗大学 Richard Evan Schwartz 谈到，对于莫比乌斯带来说，这个问题没有解决，因为它们是「嵌入的」而不是「浸入的」，这意味着它们不会相互渗透或自我相交。莫比乌斯带实际上是一个全息图，一种投影到三维空间的图形：对于「浸入的」的莫比乌斯带，多层带可以彼此重叠，有点像幽灵穿过墙壁；对于「嵌入的」的而言，没有这样的重叠。

1977 年，数学家 Charles Sidney Weaver 和 Benjamin Rigler Halpern 提出了这个关于最小尺寸的问题，并指出如果允许莫比乌斯带自相交，那么这个问题就简单了。那么，剩下的问题就是要确定需要多少空间来避免自交。Halpern 和 Weaver 曾提出了一个最小尺寸，但他们无法证明这一想法，因此被称为 Halpern-Weaver 猜想。

Schwartz 在四年前首次了解到这个问题，在得知后就被这个问题深深吸引住。现在，他的兴趣已经变为新的成果了。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf

他在 2023 年 8 月 24 日发布在 arXiv.org 上的一份预印本论文中证明了 Halpern-Weaver 猜想。他证明了用纸制成的「嵌入的」莫比乌斯带只能以大于的纵横比构造出来。例如，如果带子长度为 1 厘米，它的宽必须要大于厘米。

解决这个难题需要数学创造力。当人们采用标准方法来解决这类问题时，很难通过公式来区分自相交和非自相交的曲面。具备 Schwartz 的几何视觉才能够克服这个困难，但这是很罕见的。

在 Schwartz 的证明中，他设法将问题分解为可以处理的部分，每个部分基本上只需要基本几何知识来解决。

其实，在找到成功的策略之前，Schwartz 在几年里断断续续地尝试了其他策略。他最近决定重新审视这个问题，因为他一直觉得他在 2021 年的一篇论文中使用的方法应该是有效的。

 

显然，他的直觉是正确的。当他重新研究这个问题时，他注意到在以前的论文中涉及 T 型图的引理中存在一个错误。通过纠正这个错误，Schwartz 迅速而轻松地证明了 Halpern-Weaver 猜想。Schwartz 自己也说，如果不是因为那个错误，他三年前就能解决了这个问题。

                                                          ^{论文中的 T 型图}

 

在本次证明中，T 型图引理是关键。这个引理基于一个基本的想法：莫比乌斯带上有些直线被称为直纹曲面。Schwartz 指出在空间中的纸带，即使它在某些复杂的位置，在每个点上仍然都有一条直线穿过它，你可以想象画这些直线，让它们横穿莫比乌斯带并在两端触及边界。

在之前的工作中，Schwartz 确定了两条互相平行并且在同一个平面上的直线，它们在每个莫比乌斯带上形成了一个 T 型图案。他指出，这些东西存在并不明显，需要证明它们存在，这也是证明引理的第一部分。

下一步是建立并解决优化问题，需要沿着带宽度延伸的线段以一个角度切开一个莫比乌斯带，并得到最终的形状。Schwartz 在 2021 年的论文中错误地得出了这个形状是平行四边形的结论。

今年夏天，Schwartz 决定尝试不同的策略。他开始尝试把莫比乌斯带压扁。如果能够证明可以将它们压成平面，这个复杂的问题将简化为一个更容易处理的平面问题。在实验中，Schwartz 切开了一个莫比乌斯带，并意识到它不是平行四边形，而是一个梯形。

最终，这个 50 年来的问题得到了解答。尝试解决一个长期未解决的问题是需要勇气的，而这正是 Schwartz 在数学上的优势：他喜欢研究那些看起来相对容易但其实很难的问题。他会看到以前研究者没有注意到的问题。

^{参考链接：https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-50-year-old-moebius-strip-puzzle1/}

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