根据一阶递归数列的概念，我们可以定义同时包含an+2、an+1、an的递推式为二阶数列。与一阶数列相比，二阶数列的通项公式更加复杂。为了方便变形，让我们先来解释二阶数列的简单形式：
an+2 = A * an+1 +B * an ， （ 同样，A,B常系数） 基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合： 令 原式变形后为这种形式 an+2 - ψ * an+1 = ω （an+1 - ψ * an）
将该式与原式对比 ，可得
ψ + ω = A 且 -（ψ*ω）= B
通过解这两式可得出 ψ与ω的值，
令bn = an+1 - ψ*an ， 原式就变为bn+1 = ω *bn 等比数列，可出bn 通项公式bn= f (n) ,
通过给定的等式an+1 - ψ*an = f(n)，我们可以观察到这个式子实际上是一阶数列的定义。这个式子只涉及到an+1和an两个数列变项，因此可以将其视为“降阶”，将一个二阶数列化为一阶数列，进而解决问题。
A(n+1)=A(n)+A(n-1)-2A(n)*A(n-1)
变形为1-A(n+1)=(1-An)(1-A(n-1))
令Bn=1-An，得到
B(n+1)=Bn*B(n-1)
如果能保证Bn>0，则这里可以两边取对数得到lgB(n+1)=lgBn+lgB(n-1)
然后令Cn=lgB(n+1)，则Cn是变成斐波那契数列，以下略
如果不能保证Bn>0，则观察B3=B2B1
B4=(B2)^2*B1
B5=(B2)^3*(B1)^2
B6=(B2)^5*(B1)^3
注意Bn=(B2)^x*(B1)^y
显然x,y都是菲波那契数列，以下略
（关于菲波那契数列，可以在网上搜，它的通项比较复杂，这里没写）
注意用上面的方法解出来的结果可能是Cn或者Bn的，需要最后进行转换An=1-Bn，别忘记了
a(n+1)+pan+qa(n-1)=0
设a(n+1)+xan=y[an+xa(n-1)]
a(n+1)+(x-y)an-xya(n-1)=0
x-y=p
xy=-q
x1=p+√（p^2-4q）,y1=√（p^2-4q）,
x2=p-√（p^2-4q）,y2=-√（p^2-4q）,
a(n+1)+x1an=y1[an+x1a(n-1)]
a(n+1)+x2an=y2[an+x2a(n-1)]
两式相除：
[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=(y1/y2){[an+x1a(n-1)]/[an+x2a(n-1)]}
设bn=[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]
bn=(y1/y2)b(n-1)=-b(n-1)
bn=b1(-1)^(n-1),b1=[a2+x1a1]/[a2+x2a1]
[a(n+1)+x1an]/[a(n+1)+x2an]=b1(-1)^(n-1)
a(n+1)+x1an=b1[a(n+1)+x2an](-1)^(n-1)
=[b1(-1)^(n-1)]a(n+1)+[b1(-1)^(n-1)]x2an
[1-b1(-1)^(n-1)]a(n+1)={[b1(-1)^(n-1)]x2-x1}an
[1-b1(-1)^(n-2)]an={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}a(n-1)
[1-b1(-1)^(n-3)]a(n-1)={[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}a(n-2)
……
[1-b1(-1)^2]a4={[b1(-1)^2]x2-x1}a3
[1-b1(-1)^1]a3={[b1(-1)^1]x2-x1}a2
[1-b1(-1)^0]a2={[b1(-1)^0]x2-x1}a1
两边相乘：
[1-b1(-1)^(n-2)][1-b1(-1)^(n-3)]……[1-b1(-1)^2][1-b1(-1)^1][1-b1(-1)^0]an
={[b1(-1)^(n-2)]x2-x1}{[b1(-1)^(n-3)]x2-x1}……{[b1(-1)^2]x2-x1}{[b1(-1)^1]x2-x1}{[b1(-1)^0]x2-x1}a1
两边的系数都为已知，an已出（只要提供a1）。
如果p、q为具体数，两边可以化简。
以上是二阶数列的通项公式的详细内容。更多信息请关注PHP中文网其他相关文章！
