∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),
∴f′（x）=3ax2+2bx+c,f''(x)=6ax+2b,
∵f″（x）=6a*(-
b
3a )+2b=0,
∴任意三次函数都关于点（-
b
3a ,f(-
b
3a )）对称，即①正确；
∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，
∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0,f(x0)）为y=f(x)的对称中心，即②正确；
任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；
∵g′（x）=x2-x,g″（x）=2x-1,
令g″（x）=0，可得x=
1
2 ，∴g(
1
2 )=-
1
2 ,
∴g(x)=
1
3 x3-
1
2 x2-
5
12 的对称中心为（
1
2 ,-
1
2 ）,
∴g(x)+g(1-x)=-1,
∴g(
1
2013 )+g(
2
2013 )+…+g(
2012
2013 )=-1*1006=-1006，故④正确.
故答案为：①②④.
①由f(x)=2x 3 -3x 2 -24x+12，得f ′ =6x 2 -6x-24,f ′′ （x）=12x-6.
由f ′′ （x）=12x-6=0，得x=
1
2 . f(
1
2 )=2*(
1
2 ) 3 -3*(
1
2 ) 2 -24*
1
2 +12=-
1
2 .
所以函数f(x)=2x 3 -3x 2 -24x+12的对称中心坐标为 （
1
2 ,-
1
2 ） .
故答案为 （
1
2 ,-
1
2 ） .
②因为函数f(x)=2x 3 -3x 2 -24x+12的对称中心坐标为 （
1
2 ,-
1
2 ） .
所以 f(
1
2013 )+f(
2012
2013 )=f(
2
2013 )+f(
2011
2013 )=…=2f(
1
2 )=2*(-
1
2 ) =-1.
由 f(
2013
2013 )=f(1)=-13 .
所以 f(
1
2013 )+f(
2
2013 )+f(
3
2013 )+…+f(
2012
2013 )+f(
2013
2013 ) =-1006-13=-1019.
故答案为-1019.
以上是定义为fx ax³ bx² cx d a=0的三次函数的详细内容。更多信息请关注PHP中文网其他相关文章！
