等价无穷小替换
∵ln(1+x)~x
∴ln[e^sinx+³√（1-cosx）]=ln[1+e^sinx+³√（1-cosx）-1]~e^sinx+³√（1-cosx）-1
∵arctanx~x
∴arctan[2³√（1-cosx）]~2³√（1-cosx）
∴原式=（1/2）lim(x→0) [e^sinx+³√（1-cosx）-1]/³√（1-cosx）
=(1/2){lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）+ lim(x→0)³√（1-cosx）/³√（1-cosx）}
=1/2+(1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）
再用等价无穷小替换
∵e^x-1~x
∴e^sinx-1~sinx~x
1-cosx~x²/2
∴原式=1/2+(1/2)lim(x→0) [e^sinx-1]/³√（1-cosx）
=1/2+(1/2)lim(x→0) x/³√（x²/2）
=1/2+(1/2)lim(x→0) ³√（2x）
=1/2
题主的做法主要存在两点问题：
1、quad函数用于计算数值积分，函数表达式中不能包含符号量；
2、被积函数的表达式应该写成关于被积变量的向量化的形式（也就是应该用点运算）。
参考代码：
R=1;
syms L;
rr = 0 : 0.1 : 1;
for ii = 1 : length(rr)
r = rr(ii);
f = @(l)(acos((1+l*l-r*r)/(2*l))+r*r*acos((r*r+l*l-1)/(2*r*l))-0.5*sqrt(4*r*r-(1+r*r-l*l)^2))*2*l/(pi*r^4);
fun = @(L) arrayfun(f,L);
J(ii) = quadl(fun,0,r);
end
plot(rr, J)
或者也可以借用楼上 枫箫1 的部分代码，写成：
R=1;
syms L;
rr = 0 : 0.1 : 1;
for ii = 1 : length(rr)
r = rr(ii);
SOA=R^2*acos((R^2+L^2-r^2)/(2*R*L))+r^2*acos((r^2+L^2-R^2)/(2*r*L))-...
0.5*sqrt(4*R^2*r^2-(R^2+r^2-L^2)^2);
PAB=SOA/(pi*r^2);
p=2*L/r^2;
f=PAB*p;
fun = eval(['@(L)' vectorize(f)]);
fun = @(l) arrayfun(@(L)eval(f),l);
J(ii) = quadl(fun,0,r);
end
plot(rr, J)
以上代码虽可以运行，但被积函数存在问题——SOA的第一项反余弦的值可能出现复数（因为在r稍小的情况下，acos的参数大于1），请题主再仔细检查一下。
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